FONCTIONS HOLOMORPHES ; THÉORÈMES DE CAUCHY

Les fonctions holomorphes sur un ouvert D de C sont les fonctions différentiables au sens complexe en tout point de û ; elles sont caractérisées à l’aide d’opérateurs différentiels particuliers d/dz, d », d’où leurs propriétés élémentaires ; une première étude de la fonction logarithme complexe est alors possible. L’intégration des formes différentielles est essentielle pour la suite : les formes différentielles de degré 1 et 2 sur un ouvert de C sont définies, ainsi que les ensembles sur lesquels on les intègre (chaînes différentiables) et la formule fondamentale de Stokes est établie ; la notion de 1-forme différentielle fermée est ensuite généralisée. Le théorème de Cauchy s’énonce alors : f holomorphe dans D entraîne : f dz est fermée dans D. La notion topologique d’indice d’un cycle par rapport à un point est introduite dans le cas différentiable ; compte tenu de la formule de Stokes, on obtient une formule intégrale de Cauchy homologique non homogène assez générale ; la solution de l’équation d »g=œ s’en déduit pour une donnée à support compact. L’intégrale d’une 1-forme différentielle continue fermée sur des arcs continus est définie, d’où la formule intégrale de Cauchy homotopique, conséquence du théorème de Cauchy. Les notions de variété différentielle de dimensions 1 et 2 et celle de surface de Riemann sont introduites en vue d’études ultérieures : le cas particulier de la sphère de Riemann sera employé dès le chapitre 2 ; les surfaces de Riemann étalées seront utilisées implicitement au chapitre 2, localement au chapitre 3, puis, en général au chapitre 5, enfin les surfaces de Riemann ouvertes ou compactes seront étudiées au chapitre 6.

Formes différentielles de degré 2

Algèbre extérieure d’un espace vectoriel de dimension 2

Soit E un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps K avec K= R ou C ; on définit (voir Appendice) un ^-espace vectoriel A2E dont les éléments sont les sommes finies d’éléments xAy, où x,y£E, le symbole A possédant les propriétés suivantes, pour x9 y9 xl9 x2€E9 X^K (i) xAy=— yAx (anticommutativité) (ii) (xt+x^Ay = jqA y+x2Ay (distributivité par rapport à l’addition) (iii) (Xx)A y = X(xAy). En particulier, si (e1,e2) est une base de E, alors e1Ae2 est une base de A2E. A2E est un ^-espace vectoriel de dimension 1 appelé puissance extérieure seconde de E ; A est appelé produit extérieur. Plus généralement, pour E de dimension quelconque finie, on définit la puissance extérieurep-ième APE de E, espace vectoriel engendré par x1A…Axp pour Xj£E9 y=l, A satisfaisant aux conditions (i), (ii), (iii). A cause de (i), on voit que si E est de dimension 2, ApE=0 pour p^3 ; en particulier, pour xl9 x2, xs£E, on a x1Ax2Ax3 = 0. Posons A°E=K, AXE=E, la somme directe A*E= 0 APE est une X-algèbre dont la multiplication est définie par A. Dans le cas où dimx E=29 on a A*E=K®E®A2E ; A2E est l’algèbre extérieure de E. 2.4.2. Comme en 2.1, soient D un ouvert de R2 et x£D ; alors T* est un C-espace vectoriel de dimension 2 ayant la base (dxl9 dx2) ; si D est un ouvert de C de coordonnée z=x1 + ix%9 (dz, dz) est une base de 7^* ; alors dx±Adx2 est une base de A2T* et, dans le deuxième cas, dzAdz en est aussi une base ; en outre dzAdz= = — 2/dxr1Adjc2. On pose A2T*(D)= |J A2T*où IJ est la réunion disjointe et n la projection X dxx1Adxx2^x. Soit U un ouvert de i) ; toute application œ : U-+A2T*(D) telle que Tioco^id^ est appelée une 2-forme différentielle (ou forme différentielle de degré 2) sur U ; alors co(x)=f(x) dx1Adx2 où f : est une fonction. On dira que œ est (de classe) C si/est de classe C On désigne par ê(U) l’anneau des fonctions C1 sur U9 par êp(U) le <f (£/)-module des ^-formes différentielles C1 sur U (où C°° sur U suivant le contexte). La définition et les propriétés données dé l’algèbre extérieure s’étendent aux ^-modules lorsque K est un anneau commutatif unitaire. En particulier ê'{U)~ =g{U)®S1(U)®S\U) est une <f (£/)-algèbre. On appelle support d’une forme différentielle œ sur un ouvert U de R2 le complémentaire du plus grand ouvert sur lequel œ est nulle : c’est un fermé noté spt o.