Les BE dans le système national d’expertise

Un modèle de la compétence algébrique à la fin du collège

Ce projet s’appuie sur un travail préliminaire de recherche en didactique des mathématiques [Grugeon 1995, 1997 ]. S’appuyant sur des travaux théoriques et expérimentaux menés dans le domaine ainsi que sur une étude de l’activité en algèbre élémentaire d’une cohorte d’élèves sur une période de plusieurs années, B. Grugeon a établi un modèle multidimensionnel des compétences algébriques attendues des élèves en fin de collège. Les différentes dimensions considérées sont : l’utilisation des lettres (inconnue, variable, nombre généralisé, abréviation ou étiquette), le calcul algébrique, la traduction entre différents registres sémiotiques (graphique, géométrique, algébrique, langue naturelle), les types de rationalité. 

Un outil de diagnostic papier-crayon

Afin de situer les élèves par rapport à ce modèle, B. Grugeon a proposé un outil de diagnostic papier-crayon. Les compétences et les difficultés des élèves en algèbre y sont analysées selon trois entrées : le type de problème (l’algèbre comme un outil de résolution de problèmes arithmétiques, de généralisation, de preuve, de modélisation de situations), les objets de l’algèbre (en particulier l’utilisation des lettres, la production et l’interprétation des expressions algébriques), le calcul formel (aspects syntaxiques, techniques, sémantiques et sémiotiques). Elle propose un test : un ensemble d’une vingtaine d’exercices avec des questions fermées et des questions ouvertes. Une grille d’analyse établie à partir du modèle multidimensionnel des compétences est proposée à l’enseignant (ou au chercheur) pour coder les réponses des élèves aux différentes questions du test. Ensuite, par une analyse transversale du codage obtenu, l’enseignant (ou le chercheur) construit le profil cognitif de l’élève en l’algèbre. Les figures 5, 6 et 7 montrent des écrans qui présentent des extraits du profil cognitif de Laurent. Un profil est une description en trois niveaux des compétences algébriques des élèves : 

Une description quantitative exprimée en terme de taux de réussite et de traitements algébriques maîtrisés.  Une description qualitative exprimée en terme de modes de fonctionnement : utilisation des lettres, calcul algébrique, conversion c’est-à-dire l’articulation entre le registre algébrique et d’autres registres sémiotiques, type de rationalité.  Une description de l’articulation entre les différents cadres et registres (graphique, algébrique, géométrique, langage naturel) sous la forme d’un diagramme. Ce travail est décrit de façon approfondie dans [Grugeon 1997]. Le test papier crayon et la grille d’analyse « manuelle » sont téléchargeables [Formation 2003].

LE PREMIER LOGICIEL PEPITE (PEPITE1)

L’outil de diagnostic papier-crayon s’est révélé trop complexe pour être utilisé par les enseignants dans les classes [Lenfant 1997]. Ainsi le premier travail de recherche du projet Pépite a consisté à mettre en œuvre l’idée d’automatiser l’outil de diagnostic papier-crayon. Ce travail avait pour objectif de montrer [Jean et al. 1997, 1999] :  qu’il était possible à l’aide d’un ordinateur de collecter des données sur les compétences des élèves (à partir de ces données, les experts pourraient construire les profils cognitifs des élèves) ;  qu’il était possible d’automatiser (au moins partiellement) ce diagnostic ;  que les profils cognitifs élaborés aideraient les enseignants à prendre des décisions pour leurs élèves. Figure 1 : L’outil de diagnostic papier – crayon. Figure 2 : Architecture de PÉPITE. Au niveau informatique, ce travail se situe dans les problématiques de conception d’environnements d’apprentissage dans des logiques d’usage développées au LIUM (Vivet et al. 1994, Bruillard et al. 2001]. Il s’appuie sur des méthodologies issues de la didactique des mathématiques [Artigue 1988] et issues du domaine de l’Interaction Humain-Machine [Helander 1997], [Kolski 2001], [Delozanne et al. 2001].

ELABORATION DU PROFIL COGNITIF DES ELEVES TEST (TACHES)

acteur : élève action : effectue le test DIAGNOSTIC acteur : enseignant action : application de la grille d’analyse nécessitant une expertise didactique PROFILS acteur : enseignant action : analyse transversale nécessitant une interprétation produit : taux de réussite modalités de fonctionnement diagramme d’articulation valeurs des critères pour chaque tâche observables papier-crayon  (réalisé) acteur : élève action : effectue le test PEPIDIAG acteur : système action : interprétation heuristique par application de la grille d’analyse PEPIPROFIL (réalisé) acteur : système action : interprétation algorithmique par analyse transversale produit : taux de réussite modalités de fonctionnement diagramme d’articulation trace de la session valeurs des critères pour chaque tâche École et sciences cognitives : Les apprentissages et leurs dysfonctionnements AD22 Rapport de fin de projet Les bases du projet Lingot page 13 Pépite est un logiciel disponible gratuitement (http://pepite.univ-lemans.fr). La première version a été réalisée en Delphi par Jean [Jean 2000, Jean-Daubias 2002].

Mettant en œuvre la stratégie de diagnostic proposée par B.Grugeon, le logiciel Pépite est constitué de trois modules. 2.1 PépiTest, le logiciel élève PepiTest est le logiciel destiné aux élèves. Il leur propose de résoudre sur ordinateur 22 exercices inspirés de ceux de l’outil de diagnostic papier-crayon. Il recueille les réponses des élèves aux exercices. Ceux-ci sont constitués de questions fermées (réponses à choix multiples ou de réponse interactives par exemple en cliquant des zones sur un graphique) mais également de questions ouvertes exigeant des élèves la production d’expressions algébriques, de réponses en langage naturel ou de réponses combinant ces deux registres d’expression (nous appelons ce langage le langage mathurel). Pour les chercheurs en didactique, il est important que les élèves puissent formuler eux-mêmes leurs réponses dans leurs propres termes pour pouvoir établir un diagnostic conséquent du point de vue didactique, même si cela rend l’analyse automatique très complexe. L’interface du logiciel a été particulièrement soignée. Il est bien entendu crucial pour le diagnostic que les données recueillies permettent de décrire les compétences des élèves et non les problèmes d’utilisabilité de l’interface. En particulier, dès le début, les chercheurs en didactique des mathématiques s’interrogeaient sur les modifications des tâches mathématiques introduites par les difficultés de l’écriture des expressions algébriques sous forme linéaire avec un clavier et une souris. La figure 3 montre une réponse d’un élève à un exercice proposé par PépiTest.