Sommaire: Cours mathématiques les nombres complexes
I : Généralités
1) Historique
2) Définition
3) Conjugaison
4) Module et inégalité triangulaire
5) Argument
a) Définition
b) Forme trigonométrique
c) Exponentielle complexe
d) Formule d’Euler
e) Groupes
II : Utilisation des complexes
1) Formule de Moivre
2) Linéarisation
3) Réduction de acosθ+ bsinθ
4) Racines d’un complexe
a) racine carrée, méthode algébrique
b) racine n ème : méthode trigonométrique
c) racines n ème de l’unité
5) Interprétation géométrique
Extrait du cours mathématiques les nombres complexes
I : Généralités
1– Historique
Les nombres complexes, tels que nous les utilisons aujourd’hui, datent du XIXème siècle. Ils étaient cependant connus et utilisés depuis plusieurs siècles sous le nom de nombres imaginaires (terme qui est resté dans l’expression « partie imaginaire »). Ils sont apparus lorsque l’on a essayé de résoudre les équations du 3 ème degré. Le premier à avoir résolu des équations du 3 ème degré du type x 3 + px = q (p > 0, q > 0) semble être Scipione Del Ferro (1465 – 1526), professeur à l’université de Bologne. Il ne publia pas sa découverte mais la transmit à son élève Antonio Maria Fior. En 1531, Tartaglia (1500 – 1557), soit à la lumière d’une indiscrétion, soit par sa propre invention, apprit également à résoudre les équations du 3 ème degré. Croyant à une imposture, Fior lança un défi public à Tartaglia.
2– Définition
L’ensemble des complexes est en bijection avec R². Ses éléments sont notés z = a+ib, pour a et b réels. a est la partie réelle, b la partie imaginaire. i est un symbole n’ayant d’autre but que de distinguer partie réelle Re(z) = a de sa partie imaginaire Im(z) = b. Les règles de calculs sont les règles usuelles de la somme et du produit, avec la règle i = –1. La notation i est due à Euler (1707 –1783). Ces règles donnent à une structure appelée corps.
3– Conjugaison
On définit une application de dans par :
z= a+ib → z = a–ib, conjugué de z.
Cette application est une conjugaison et correspond géométriquement à une symétrie orthogonale par rapport à l’axe des abscisses. Il s’agit d’une involution (sa composée avec elle–même est égale à l’identité).
On vérifie facilement que l’on a les règles de calcul suivantes :
4– Module et inégalité triangulaire
Il s’interprète géométriquement comme la norme euclidienne du vecteur d’affixe z ou comme la distance du point d’affixe zà l’origine. De même, z– a est la distance du point d’affixe z au point d’affixe a. Ainsi, R étant un réel strictement positif, {z,z– a < R} est le disque (dit ouvert) de centre a de rayon R. L’ensemble {z, z– a ≤ R} s’appelle disque fermé de centre ade rayon R.
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