Homogénéisation d’un problème
elliptique

Présentation de la théorie de l’homogénéisation

De nombreux problèmes rencontrés dans différents domaines scientifiques dépendent de paramètres ayant une grande variabilité spatiale. La résolution de ce type de problème à l’échelle de variation de ces paramètres peut être très difficile du fait de la taille des maillages utilisés. Le but de l’homogénéisation est de reformuler ces problèmes sous la forme d’un problème dit homogénéisé en introduisant des paramètres effectifs définis à une échelle d’espace plus grossière. La résolution de ce second problème à cette échelle est alors moins coûteuse. La notion d’homogénéisation est en fait une généralisation du concept de valeurs moyennes qui a été étudié depuis le XIXe siècle (voir, par exemple, J. C. Maxwell [Max81] et S.-D. Poisson [Poi25]). Cependant le terme d’homogénéisation a été introduit, pour la première fois, par P. Benoist [Ben64] pour l’étude des phénomènes de diffusion dans les réacteurs nucléaires. Les premières théories mathématiques sur l’homogénéisation ont été publiées par S. Spagnolo et E. De Giorgi (voir [Spa68], [DS73], [DG75], [Spa76] et [DG83]) qui ont introduit les notions de G-convergence et Γ-convergence. Ces notions ont ensuite été généralisées par F. Murat et L. Tartar qui ont défini la notion de H-convergence [MT97]. La théorie de l’homogénéisation s’est ensuite étoffée avec l’utilisation de développements asymptotiques. Les développements asymptotiques avaient déjà été utilisés notamment pour spécifier des termes de couches limites. Cependant, leur utilisation pour prouver des résultats d’homogénéisation a été proposée par É. Sanchez-Palencia [SP80], I. Babuška [Bab76], N. Bakhvalov et G. Panasenko [BP89]. Le livre [BLP78] écrit par A. Bensoussan, J.-L. Lions et G. Papanicolaou regroupe un certain nombre de résultats et de démonstrations sur la théorie de l’homogénéisation. Dans ce qui suit, on démontre une partie des résultats issus de cette théorie dans le cas d’un problème elliptique à coefficients périodiques. Ces démonstrations se basent sur la convergence à deux échelles qui a été introduite par G. Nguetseng [Ngu89] et formalisée par G. Allaire [All92]. D’autres méthodes telles que la méthode de l’éclatement périodique (periodic unfolding method) présentée par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso [CDG02] ont été mises au point pour expliquer et démontrer différents résultats d’homogénéisation. Le concept de convergence à deux échelles a également été généralisé avec l’intégration d’une dérive pour traiter des problèmes de convection-diffusion à convection dominante dans [MPP05]. Cette notion a notamment été présentée par P. Donato et A.L. Piatnitski [DP05] ainsi que G. Allaire et A.L. Raphael [AR07]. Notons que certains articles antérieurs tels que [ZKO94] et [Pap95] envisageaient déjà une extension des résultats d’homogénéisation elliptique à cette classe de problèmes. L’homogénéisation basée sur un développement asymptotique à deux échelles avec dérive est présentée plus en détail au chapitre 7. La plupart des références que nous avons évoquées s’intéressent à l’homogénéisation de problèmes périodiques. De nombreux auteurs ont pu constater que des résultats assez similaires pouvaient également être démontrés si on souhaite intégrer des données aléatoires. On parle alors d’homogénéisation stochastique (voir [ZKO94], [PS08] et [PV+79]). Mentionnons enfin plusieurs livres très complets sur l’homogénéisation : [All02], [CD99], [PS08], [Tar09] et [ZKO94]. Ce chapitre présente brièvement des résultats d’homogénéisation dans le cas d’un problème elliptique périodique.

Problème de départ

Le problème elliptique que l’on cherche à résoudre dans le système (2.6) est    −div (kλT ∇P) = 0 dans Ω P = Pb(x) sur ΓD kλT ∇P · n = 0 sur ∂Ω \ ΓD. Ce problème est posé sur Ω ⊂ R N un ouvert borné qui représente le réservoir. On souhaite résoudre ce problème dans le cas où kλT varie à une échelle beaucoup plus petite que le domaine Ω. Ainsi, notons ε = l L où l représente l’échelle caractéristique des hétérogénéités et L celle du domaine Ω. Nous voulons construire une méthode multi-échelle permettant d’approcher la solution de ce problème elliptique. Pour plus de généralité, nous considérons ici un problème avec second membre. On va cependant prendre des conditions aux bords plus simples. De plus, pour se conformer aux usages en théorie de l’homogénéisation nous modifions les notations. Le problème que l’on cherche à résoudre est alors  −div (Aε (x)∇uε) = f dans Ω, uε = 0 sur ∂Ω où Aε est une matrice dont les coefficients varient à l’échelle ε. Ce problème est utilisé pour construire et justifier le choix de la méthode multi-échelle. Nous appliquerons ensuite la même méthode pour le problème en pression précédent. Dans ce chapitre, nous rappelons des résultats d’homogénéisation périodique où Aε est supposée périodique de période ε dans chaque direction de l’espace. Dans ce qui suit, on ajoutera l’indice # sur les espaces de fonctions pour préciser que ces fonctions vérifient des conditions aux bords de périodicité. Ainsi, on désigne par L 2 #(X) l’ensemble des fonctions de carré intégrable définies sur un pavé X et X-périodiques. Soit Y la cellule unité (0,1)N . Le problème que l’on cherche à résoudre consiste alors à trouver uε ∈ H1 (Ω) solution de  −div Le problème ainsi posé admet une et une seule solution uε par le théorème de Lax-Milgram rappelé dans l’annexe A.2.1. La valeur du coefficient ε est faible. On va donc chercher à caractériser la solution à ce problème lorsque ε tend vers 0. Dans la prochaine partie, nous allons partir d’un développement asymptotique formel pour obtenir un problème de cellule (3.4) et un problème homogénéisé (3.5) (paragraphe 3.4). Puis, dans le paragraphe 3.5, nous allons introduire la notion de convergence à deux échelles et nous verrons que cette notion nous permet de caractériser la convergence de la solution calculée à partir du problème homogénéisé vers la solution du problème de départ. En particulier, le théorème des correcteurs (Théorème 3.3) montre que l’on peut avoir une convergence en norme H1 0 (Ω) vers la solution du problème initial. Une fois ces résultats établis, nous allons voir qu’on peut estimer l’écart entre la solution obtenue en résolvant le problème homogénéisé et la solution du problème initial. On arrive, par exemple, à l’inégalité (3.21) qui montre que la convergence en norme H1 0 (Ω) rappelée précédemment est à l’ordre 1 2 en ε. Ces résultats théoriques servent de base à la méthode multi-échelle présentée au chapitre 4.

Convergence à deux échelles

 Nous présentons ici le concept de convergence à deux échelles. La notion de convergence à deux échelles a été introduite par G. Nguetseng dans [Ngu89] et formalisée par G. Allaire dans [All92]. Cette notion va nous servir à justifier mathématiquement et de manière plus précise le développement asymptotique (3.3) et les résultats de la proposition 3.1. D’autres méthodes peuvent être utilisées pour obtenir ces résultats. On peut citer, par exemple, la méthode du déploiement périodique (periodic unfolding method) présentée par D. Cioranescu, A. Damlamian et G. Griso dans [CDG02] ou la méthode de la fonction test oscillante introduite par L. Tartar dans [Tar76] et [MT97]. La méthode de la fonction test oscillante permet, en outre, d’obtenir des résultats d’homogénéisation pour des cas non périodiques. Définition 3.1 (Convergence à deux échelles). On dit qu’une suite de fonctions uε ∈ L 2 (Ω) converge à deux échelles vers une limite u0(x,y) ∈ L 2 (Ω × Y ) si, pour toute fonction ϕ(x,y) ∈ D(Ω; C∞ # (Y )),