Sommaire: Mécanique théorie de l’élasticité linéaire

1 Pourquoi la mécanique des milieux continus
1.1 De la mécanique du point matériel à la mécanique des milieux continus
1.2 La mécanique des milieux continus au centre des disciplines de l’ingénieur
1.3 Notion de milieu continu et d’échelle d’observation
1.4 Remarques importantes
1.5 Système d’unités
2 Éléments de calcul tensoriel
2.1 Convention de sommation d’Einstein
2.2 Symbole de Kronecker
2.3 Symbole de permutation dit de Lévi-Civita
2.4 Changement de base
2.5 Scalaire
2.6 Vecteur
2.7 Tenseur d’ordre 2
2.8 Étude des tenseurs d’ordre 2
2.8.1 Tenseur identité
2.8.2 Tenseur symétrique et antisymétrique
2.8.3 Trace d’un tenseur
2.8.4 Produit contracté
2.8.5 Produit tensoriel
2.8.6 Représentation spectrale d’un tenseur
2.9 Formule d’intégration par partie
2.9.1 Formule de Green-Ostrogradski
2.10 Formule de Stokes
2.11 Systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales
2.11.1 Coordonnées cartésiennes
2.11.2 Coordonnées cylindriques
2.11.3 Coordonnées sphériques
2.11.4 Formules utiles
3 Description de la cinématique d’un milieu continu
3.1 Trajectoire et dérivées temporelles
3.2 Gradient de la transformation
3.3 Définition des tenseurs de déformation
3.4 Interprétation des composantes des tenseurs de déformations
3.5 Décomposition polaire
3.6 Changement de volume
3.7 Changement de surface
3.8 Taux de déformation
3.9 Déformations en petites perturbations
3.9.1 Formulation de l’hypothèse des petites perturbations (HPP)
3.9.2 Simplification des résultats dans l’hypothèse HPP
3.9.3 Conditions de compatibilité des déformations
3.9.4 Directions principales des déformations et cercle de Mohr
3.9.5 Dépouillement d’une rosette en extensométrie
4 Lois de bilan
4.1 Forme globale des lois de bilan
4.2 Forme locale des lois de bilan
4.3 Conséquences des lois de bilan
4.3.1 Conséquences de la conservation de la masse
4.3.2 Conséquences de la bilan de quantité de mouvement
4.3.3 Conséquences de la bilan du moment cinétique
4.3.4 Conséquences du bilan de l’énergie
5 Le tenseur des contraintes
5.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mécanique des so-lides indéformables
5.1.1 Volume élémentaire au sein du milieu
5.1.2 Volume élémentaire en surface du milieu
5.2 Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles
5.2.1 Définition des puissances virtuelles
5.2.2 Théorème de l’énergie cinétique
5.2.3 La dualité en mécanique
5.3 Propriétés locales du tenseur des contraintes
5.3.1 Contrainte normale et contrainte de cisaillement
5.3.2 Contraintes normales principales
5.3.3 Représentation des contraintes : le tricercle de Mohr
5.3.4 État plan de contrainte
5.3.5 Tenseur des contraintes sphérique
5.3.6 Tenseur des contraintes uniaxial
5.3.7 Tenseur des contraintes de cisaillement simple
6 Théorie de l’élasticité linéaire isotrope
6.1 Les équations
6.1.1 La cinématique
6.1.2 Equilibre
6.1.3 Comportement élastique isotrope
6.1.4 Récapitulatif
6.2 Théorèmes de l’énergie potentielle
6.3 Techniques de résolution analytique
6.3.1 Approche en déplacement
6.3.2 Approche en contrainte
6.3.3 Solide en état plan de déformation
6.3.4 Solide en état plan de contrainte
6.3.5 Fonction de contrainte d’Airy
6.4 Techniques de résolution numériques
6.5 Thermoélasticité
7 Problèmes classiques d’élasticité
7.1 Cylindre sous pression
7.2 Traction d’un barreau prismatique
7.3 Torsion d’un barreau prismatique
8 Thermodynamique et lois de comportement
8.1 Le premier principe
8.2 Le second principe

Extrait du cours mécanique théorie de l’élasticité linéaire

Chapitre 1 Pourquoi la mécanique des milieux continus
1.1 De la mécanique du point matériel à la mécanique des milieux continus
La mécanique du point matériel permet de prédire le mouvement d’un point soumis à une ensemble de forces. On distingue dans cette théorie la description de la cinématique: position, vitesse et accélération du point, et la “dynamique” : relation entre force et mouvement (la seconde loi de Newton~f =m~a). Cette théorie permet par exemple de calculer le trajet d’électrons dans un champ magnétique ou de prédire l’orbite d’une planète soumise aux forces gravitationnelles.
Avec la mécanique du point matériel, on ne peut décrire les rotations d’un corps sur lui même.
Cette théorie n’est donc pas adaptée pour étudier le trajet d’une boule de billard ou pour étudier la rotation d’une planète ou d’un satellite sur lui-même lors de son orbite. Pour cela, il faut la mécanique des solides indéformables qui intègre la notion de rotation, d’inertie et de moment. La somme des moments s’appliquant sur le corps égale à tout instant à son moment d’inertie multiplié par son accélération angulaire.
Il est important de constater que pour un point matériel, la notion de rotation n’a pas de sens (un point ne peut tourner sur lui-même). De même le moment des forces s’appliquant sur le point est toujours nul puisque le bras de levier est toujours nul (moment calculé par rapport à la position du point). La dynamique d’un point matériel s’écrit donc simplement en terme de force et d’accélération. Pour décrire la dynamique d’un corps indéformable, on ajoute les notions de rotation, moment et inertie.
La mécanique des solides indéformables permet de résoudre des problèmes importants de l’ingénieur comme ceux issus de la robotique (chaîne cinématique). En revanche, cette mécanique ne peut traiter les problèmes suivants :
– Déterminer la force nécessaire pour emboutir une canette à partir d’un tôle mince ;
– Calculer l’écoulement de l’eau sous un pneu en conduite sur route mouillée afin d’opti-miser le dessin de ce pneu ;
– Déterminer le niveau d’échauffement de l’outil dans un procédé d’usinage. L’usinage est un procédé de fabrication dans lequel une pièce métallique brute est “taillée” à l’aide d’un petit outil. Le contact entre l’outil et la pièce se fait à grande vitesse et génère des copeaux (un peu comme la taille du bois). Ne manquez pas la journée porte ouverte de l’École pour assister à l’usinage d’une pièce ;
– Calculer la pression nécessaire pour souffler les bouteilles plastiques. Deux procédés industriels de soufflage existent (l’extrusion-soufflage et l’injection étirement soufflage). Il laisse sur le fond du culot des bouteilles plastiques deux signes caractéristiques différents : un point ou un trait ;
– Étudier la stabilité des talus ;
– Déterminer si une fissure détectée dans un réacteur ou sur le fuselage d’avion est cri-tique (tous les avions qui volent ont des fissures mais rassurez-vous elles sont inspectées régulièrement) ;
– Simuler informatiquement les chocs crâniens dans les accidents de la route pour optimiser les airbags et les habitacles des voitures ;
– L’étude de la résistance d’une coque composite d’un voilier de course soumis aux chocs répétés avec la surface de l’eau (l’impact répété d’une coque sur l’eau est appelé tossage).
Pourquoi ces problèmes ne peuvent-ils pas être traités par la mécanique des solides indéformables?
Reprenons chacun des exemples et discutons-le :
– La force nécessaire pour emboutir une canette dépend du matériau dont est constituée la tôle. La notion de “matériau” n’intervient pas en mécanique des solides indéformables : seule la masse et la forme (qui influe sur le moment d’inertie) sont considérées ;
– L’eau est le milieu qui par excellence se déforme facilement. Ceci est à l’opposé de la mécanique des solides qui considère les corps comme indéformables;
– La détermination du niveau d’échauffement d’un outil lors d’un procédé d’usinage re-quiert la thermodynamique. L’énergie mécanique dissipée par l’outil dans sa coupe est transformée en chaleur. Ce qui produit une élévation de température ;
– Le soufflage d’une bouteille fait intervenir des déformations extrêmes ;
– L’étude de la stabilité d’un talus se pose en ces termes : à partir de quelle pression exercée sur le talus, celui-ci glisse-t-il de manière irréversible? Une préoccupation éloignée de la mécanique des solides indéformables ;
– Une fissure est une surface sur laquelle l’intégrité de la matière est perdue. En mécanique des solides les corps sont indivisibles ;
– La modélisation d’un choc crânien est très complexe et entre dans le domaine dit de la bio-mécanique qui nécessite un travail collaboratif entre mécanicien, neuro-chirurgien, vétérinaire (analogie homme-animal). Une tête humaine est bien différente (même si l’on a la tête dure) d’un solide indéformable ;
– Les coques et mâts de voiliers de course sont réalisés en matériaux composites. Ces matériaux vus de près sont des structures à part entière : il y a des couches (appelées plis) constituées de fibres plongées dans une matrice. Les propriétés de ces fibres et de la matrice, la séquence d’empilement, le mode de fabrication du matériau sont autant de
facteurs déterminants sur la résistance du matériau. Cette problématique est encore une fois éloignée de la mécanique des solides.
On peut résumer la discussion ci-dessus, en disant que la mécanique des milieux continus doit être utilisée à la place de la mécanique des solides indéformables lorsque:
– des déformations interviennent ;
– le comportement du milieu qu’il soit fluide ou solide doit être pris en compte. Il faut connaître la relation entre la déformation du corps et les efforts mis en jeu ;

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Cours mécanique des milieux continus théorie de l’élasticité linéaire isotrope (909.27 KB)  (Cours PDF)