Modélisation du système multi-actionneurs piézoélectriques

Modélisation du système mécanique

La modélisation du système mécanique représenté sur la figure 4.1 va consister à prendre en compte les différentes compliances impliquées dans la transmission du mouvement des extrémités des actionneurs piézoélectriques jusqu’au centre du support de la matrice. Ce sont donc les compliances du support des contacts, des différents contacts sphère-plan et du plateau secondaire. Compte tenu des résultats présentés dans le chapitre précédent, qui ont mis en évidence que les déformations des supports de contact et du plateau secondaire étaient négligeables, l’étude peut être limitée. En premier lieu, la matrice inférieure et le plateau secondaire auquel il est associée seront supposés rigides. Par ailleurs, on supposera que la liaison entre un actionneur et le support de contact correspondant est rigide. Par conséquent, le déplacement de l’extrémité libre d’un actionneur est égale à celui de son support de contact. Aussi, du point de vue de la modélisation, il est nécessaire de considérer les couples de variables (Fpi, vpi) et (Fi , vi) qui définissent les puissances transmises par les actionneurs piézoélectriques et les support de contacts respectivement, la différence entre les efforts correspondant à l’effet de l’inertie d’un support de contact. Ceci suppose donc que l’on néglige les effets des inerties des sphères et que seules déformations élastiques de ces dernières seront prises en compte. De ce fait, il est nécessaire a priori de considérer qu’il peut y avoir une différence de vitesse entre un support de contact et la surface du plan correspondante, ce qui impose dans un premier temps de définir la puissance transmise par le contact sphérique au plateau par le couple de variables (Fi , vi). Enfin, il sera nécessaire d’exprimer la relation cinématique reliant les vitesses des trois points de contacts avec celles aux centres du plateau, et de déterminer le torseur des efforts au centre du plateau. Figure 4.1: Différentes parties pour la modélisation du système mécanique

Modélisation du système mécanique

Formulation du problème dynamique

De façon générale, le mouvement du système mécanique constitué par le guidage élastique d’une part et l’ensemble plateau et matrice inférieure (considéré comme un seul corps rigide) est décrit par l’équation dynamique sous la forme suivante : M¨q + Cc(q, ˙q) + Kq + D(q)˙q + Gg(q) = F (4.1) avec : • M la matrice d’inertie de la matrice inférieure avec plateau secondaire ; • Cc la matrice représentant les couplages dynamiques induits par les forces de Coriolis et centrifuges ; • K la matrice de rigidité du guidage élastique déjà étudiée au chapitre précédent ; • D la matrice d’amortissement ; • Gg la matrice représentant les forces de gravité ; • F le vecteur des efforts externes ∗ ; • q le vecteur des variables de mouvement. Les mouvements étant de faibles amplitudes, il est supposé que l’action du guidage élastique est linéaire. Les composantes du vecteur des variables de mouvement q sont les déplacements du centre du plateau et les angles de rotation de ce dernier par rapport à sa position de repos en supposant les rotations faibles. Elles sont exprimées selon et autour des 3 axes principaux de la base globale (voir la figure 4.2 ) : q = h x y z αx αy αz iT . Les efforts externes appliqués à cet ensemble sont les forces d’action du lopin Flopin et des contacts F1, F2, F3 qui sont représentées sur la figure 4.2. Dans l’étude, l’influence du frottement au contact est négligée, ainsi que la variation de l’orientation du contact due aux rotations du plateau. Par conséquent, ces derniers efforts sont supposés verticaux et les moments sont négligés en ces points. Ces forces proviennent de la transmission des forces générées par les actionneurs Fpi et de forgeage Ff . Au vu des ordres de grandeur des dimensions et des vitesses de la matrice inférieure (90 mm de diamètre et une vitesse maximale de 6 mm/s), les efforts générés par ∗. Comme au chapitre 3, le vecteur des forces est constitué par l’ensemble des composantes du torseur des forces au point considéré. Dans ce cas, il s’agit du centre du plateau. 107 Chapitre 4 Modélisation du système multi-actionneurs piézoélectriques O Fp3 Fp1 Fp2 Lopin Matrice inférieure x y z O x F3 F1 F2 Actionneurs Ff Flopin F3 F1 F2 R 120° 120° Figure 4.2: Schéma des forces appliquant sur la matrice inférieure actionneurs Fpi et de forgeage Ff (de l’ordre de quelques kN) sont dominants par rapport aux effets de la gravité, de l’amortissement et des forces centrifuges. Dans cette estimation, il a été considéré que si les supports de contact ont une masse de l’ordre du kilogramme, l’influence de leur inertie est de l’ordre de la centaine de Newton ce qui signifie que les forces F1, F2, F3 ont des ordres de grandeurs similaires à ceux des forces générées par les actionneurs. Selon cette approximation, l’équation (4.1) est réduite à : M¨q + Kq = F (4.2) où F = FO − Flopin avec FO le vecteur dont les composantes sont le torseur des efforts résultant des forces des contacts F1, F2, F3 et Flopin le vecteur d’effort résultant de la force de forgeage Ff . En général, la répartition des forces surfaciques résultant de l’interaction du lopin est complexe, aussi on considérera uniquement les composantes suivantes, le lopin étant centré sur l’axe Oz : Flopin = h 0 0 Flopin MlopinX MlopinY 0 iT . Le vecteur de forces FO sera défini par l’étude de la section suivante. La matrice des masses étant nécessairement symétrique positive, l’équation dynamique du guidage (4.2) peut être transformée sur une base modale par une matrice de passage Pm comme suit : X¨ + ΛX = Pm −1M−1F (4.3) avec : • Λ : la matrice des valeurs propres de la matrice M−1K • Pm : la matrice des vecteurs propres de la matrice M−1K • X : le vecteur des déplacements modaux défini par q = PmX On obtient alors dans cette nouvelle base un ensemble d’équation dynamiques découplées : x¨i + λixi = fOi − fLi (4.4) 108 4.1 Modélisation du système mécanique où fOi, fLi sont respectivement les i ème composantes des vecteurs Pm −1M−1FO et Pm −1M−1FLopin. Cette approche permettra, une fois les différentes forces et la cinématique établies, de déterminer les dynamiques dominantes et éventuellement de réduire le modèle.

Étude mécanique de la transmission du mouvement

La force et les moments Fz, Mx, My dus aux forces de contact et réduits au centre du plateau sont obtenus par la réduction des torseurs des trois forces appliquées par les actionneurs piézoélectriques au point de contact en O. Les points d’application des forces de contact sur le plateau secondaire sont représentés sur la figure 4.3a. O Fp3 Fp1 Fp2 Lopin Matrice inférieure x y z O x F3 F1 F2 Actionneurs Ff Flopin F3 F1 F2 R 120° 120° (a) z y F1 F2,3 Déplacement du point de contact (b) Figure 4.3: Schéma des forces de contact sur le plateau secondaire Les déplacements tangentiels des points de contact sur le plateau secondaire causés par la rotation du plateau peuvent être négligés (voir la figure 4.3b), et la variation de l’orientation de la force de contact est supposée négligeable. De plus, on néglige l’effet de la friction. Aussi, on ne considérera que l’amplitude des forces et des vitesses des contacts selon la direction z, qui sont dominantes par rapport à celles dans le plan perpendiculaire à l’axe z. On note −→v1 , −→v2 et −→v3 les vecteurs vitesses instantanées des points de contact Ii selon z appartenant à l’axe à l’aplomb des actionneurs. Pour trouver la relation entre la vitesse de déplacement selon Oz du point O et les trois vitesses −→v1 , −→v2 et −→v3 , on considère l’influence de chaque vecteur vitesse −→v1 , −→v2 et −→v3 sur le point O. Appelons −→ω1, −→ω2 et −→ω3 les vecteurs vitesse de rotation instantanée dus à chaque vecteur vitesse de déplacement −→v1 , −→v2 et −→v3 respectivement (voir figure 4.4). Lorsqu’un des actionneurs est alimenté, les autres restant au repos, l’axe instantané de rotation passe par les points de contact correspondant à ces derniers.