Cours mécanique générale et analytique

Cinématique des solides indéformables Composition des mouvements

Nous nous intéressons dans ce chapitre à la cinématique1, c’est-à-dire à la description géométrique des mouvements sans se soucier de l’origine physique de ces mouvements. Après quelques éléments généraux sur la cinématique des milieux continus, nous nous focalisons sur les solides « indéformables », pour lesquels on peut négliger toute déformation; il s’agit bien entendu d’une approximation, aucun solide n’étant parfaitement indéformable. Nous définissons aussi, afin de positionner correctement notre vision classique d’un espace-temps euclidien justement universel et indéformable (!) dans un contexte plus large, les limites de ce cours de mécanique classique. Enfin nous rappelons toutes les formules de changement de référentiels.

Mouvements de solides indéformables – Référentiels

Description générale d’un mouvement

Dans ce cours nous nous intéressons à la dynamique d’un ou plusieurs solides indéformables éventuellement liés. Cette dynamique est caractérisée par un observateur imaginaire, réputé « immobile », capable de mesurer « à l’oeil » des temps et des distances. Le nom générique de cet observateur « omniscient », pour nous mécaniciens, est « référentiel » ; nous reviendrons sur cette notion importante section 1.1.3.Un solide est, pour nous, un « milieu continu »2, repéré dans une position de référence par un ensemble de points matériels M0 de l’espace physique, qui, lors du mouvement décrit de façon lagrangienne, c’est-à-dire en suivant ces points matériels, se trouvent à l’instant t en des positions M(t). En théorie notre observateur omniscient peut déterminer une fonction → Φ telle que, si O est un point fixe origine qu’il s’est choisi..

Notion de référentiel – Cadre de travail

On peut revenir maintenant à la notion de référentiel, en disant que se donner un référentiel c’est se donner un mouvement solide indéformable de référence, à savoir le mouvement de la chaise sur laquelle l’observateur imaginaire est assis… Il faut bien distinguer ce choix d’un mouvement solide de référence, qui relève de la physique, de celui du repère (un point origine + une base orthonormée) et du système de coordonnées (cartésiennes, cylindriques ou sphériques ), qui relève plutˆ ot de la technique mathématique. Dans le même référentiel, on pourra être amené, selon les symétries du problème étudié, à utiliser des repères différents et/ou des systèmes de coordonnées différents. Précisons bien que dans ce cours on ne considérera que des mouvements se produisant à des vitesses relatives très faibles par rapport à celle de la lumière (1.27), et on négligera donc tous les effets relativistes. Dans ce cadre de mécanique classique ou de « relativité galiléenne », les notions de temps et de distance sont absolues, et on peut donc affirmer qu’un référentiel c’est l’espace euclidien, dont la métrique est universelle, entrainé par le mouvement d’un observateur, plus la droite du temps, qui s’écoule identiquement pour tous.
Φ Dans le cas de vitesses approchant celle de la lumière, dit de la mécanique relativiste einsteinnienne, les notions de distance et de temps deviennent relatives, c’est-`a-dire qu’elles dépendent du référentiel. Pire, en relativité générale, lorsque l’on considère de grandes masses et/ou de grandes distances, d’ordre astronomique, l’espace physique n’apparait même plus comme euclidien…
Mentionnons de façon plus « terre à terre » que les définitions modernes (dans le système international ou SI) des unités de temps (cette définition date de 1967) et de distance (celle-la date de 1983) nécessaires à la mécanique classique font appel à des notions de mécanique quantique et relativiste, qui toutes deux sortent du cadre classique de ce cours!… Ainsi la seconde (s) est définie comme « la durée de 9192631770 périodes de la radiation correspondant à la transition entre les deux niveaux hyperfins de l’état fondamental de l’atome de Césium 133 » mesurable par une horloge atomique, ce phénomène étant d’origine quantique, tandis que « le mètre (m) est la longueur parcourue dans le vide par la lumière pendant une durée de 1/299792458 de seconde » (voir par exemple Jedrzejewski 2002), la constance de cette vitesse de la lumière c = 299792458 m/s ‘ 300000 km/s (1.27) étant elle-même un phénomène relevant de la relativité! On est confronté au fait, fréquent en physique, que la compréhension profonde d’une théorie simple requiert la connaissance des théories plus complexes qui l’englobent…
D’un point de vue historique, nous pouvons être fiers du rôle important joué par la France dans la mise en place du système métrique décimal, ancêtre du système international (SI). Cette mise en place a été lancée par la révolution française, et les élèves férus d’histoire des sciences pourront lire à ce sujet le livre de Guedj (2000). La première définition scientifique de l’unité de longueur a ainsi été posée par une loi française de 1795 : « le mètre est la dix millionième partie de l’arc de méridien terrestre entre le pôle boréal et l’équateur ». Ainsi cet arc mesure 10000 km (de 1795), donnée à retenir pour des applications géophysiques de la mécanique. On en déduit en particulier le rayon terrestre rT puisque Pour l’anecdote la mise en place du m’etre a nécessité une mesure précise de la longueur d’une portion de l’arc de méridien terrestre, mesure effectuée dans des conditions difficiles voire héroiques entre 1792 ` a 1798, comme cela est raconté dans un style très vivant par Guedj (2000). Mentionnons aussi, pour garder la tête froide et modérer d’éventuelles ardeurs chauvines, que l’unité de temps choisie par les savants francais de l’époque révolutionnaire, a savoir la seconde « cent-millieme partie du jour astronomique », a eu infiniment moins de succès que l’unité de longueur choisie par ces mêmes savants, puisqu’elle fut abandonnée moins de douze ans après son adoption, c’est-`a-dire en 1805 (Guedj 2000).
Le systeme SI dont on a finalement hérité après quelques aléas est quand même bien pratique puisque correspondant a des vitesses typiques de l’être humain, 1 m/s = 3,6 km/h étant une vitesse de marche a cadence normale..

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