Critères de prédiction de striction diffuse

Nous avons vu dans le Chapitre 2 que la striction diffuse se caractérise expérimentalement par l’apparition d’un amincissement marqué dans une zone relativement large, d’environ 15 à 30 mm pour une éprouvette de traction normalisée, particulièrement visible sur celles constituées de matériaux ductiles comme par exemple les aciers doux. En pratique, l’apparition de striction diffuse peut constituer une source de défauts suffisante pour conduire au rebut des pièces d’aspect mises en forme par emboutissage, comme les carrosseries de voiture par exemple. La striction diffuse peut être interprétée comme une évolution progressive d’un état de déformation homogène vers un état de déformation quasi-homogène ou hétérogène. Un des problèmes engendrés par cette perte d’homogénéité est par exemple l’impossibilité d’identifier les propriétés d’un matériau avec des essais classiques au-delà du point de striction diffuse. C’est aussi un phénomène avant-coureur de la striction localisée, plus néfaste. La capacité à prévoir ce phénomène n’est donc pas dénuée d’intérêt, comme peut en témoigner le nombre de critères qui y sont consacrés. Parmi les critères développés afin de prévoir l’apparition de striction diffuse, les critères de Bifurcation Générale et de Bifurcation par Point Limite, auxquels on pourrait rajouter le critère de Cordebois – Ladevèze, vont être présentés dans les premiers paragraphes. L’approche semi-empirique basée sur le principe de Force Maximum sera développée dans le cas de matériaux rigides plastiques, élasto-plastiques puis élasto-plastiques endommageables. Une attention particulière sera accordée à l’établissement de liens entre ces différents critères.

Méthode d’analyse de bifurcation

Le changement de mode de déformation d’un état homogène vers un état hétérogène peut être vu comme un problème de bifurcation de la solution du problème aux limites en vitesse. La recherche des conditions permettant l’apparition de striction diffuse est alors associée à l’étude de la perte d’unicité des solutions de ce problème. pour tout champ de vitesse, sans imposer qu’il doit être nul sur la frontière 2 . Cette dernière condition est évidemment suffisante pour exclure toute bifurcation pour le problème considéré, quelles que soient les conditions aux limites qui lui sont imposées (de type force ou déplacement). Il peut être noté que les conditions écrites ci-dessus sont seulement suffisantes pour garantir l’unicité ; pour montrer qu’elles sont nécessaires il faut exhiber un champ de vitesse compatible avec les conditions aux limites imposées et violant la condition (4.9) comme cela est traditionnellement fait en flambage plastique. Cette dernière condition est clairement plus forte que les conditions précédentes (4.9) et (4.10), mais il est possible de montrer qu’elle est équivalente à (4.10) dans le cas où l’état de pré-bifurcation est homogène. L’écriture locale (4.11) justifie la terminologie « instabilité matérielle » alors que cette condition est issue d’un critère d’instabilité structurelle (striction diffuse). Une condition suffisante d’unicité de la solution du problème aux limites .

Une condition nécessaire de perte d’unicité de la solution du problème aux limites correspond à la perte de positivité du travail de second ordre, ce qui peut aussi se traduire par la singularité de la partie symétrique du module tangent L . Une condition suffisante d’unicité est donc donnée par la vérification de la positivité du travail de second ordre donné en (4.11) ou en pratique à la vérification de la positivité de toutes les valeurs propres de la partie symétrique de L . Le critère de Bifurcation Générale peut être vu comme une borne inférieure d’exclusion de la striction diffuse. De nombreuses observations expérimentales permettent de mettre en évidence l’influence des conditions aux limites sur les états de déformation et de contrainte lors de l’initiation de la striction diffuse et de la localisation. Les critères usuels de striction et de localisation sont généralement écrits dans des cas particuliers de conditions aux limites, notamment l’absence de blocage pour le cas de la striction diffuse. Cordebois et Ladevèze proposent la formulation d’un critère ou plus précisément d’une famille de critères, bornée par un critère de striction diffuse (borne inférieure), dont la formulation s’effectue sans blocage additionnel et par un critère de striction localisée (borne supérieure) associé à un maximum de blocages (Cordebois 1983; Cordebois et Ladevèze 1984; 1986). L’objet de ce paragraphe est de présenter le critère de striction diffuse puis de montrer les liens existant entre ce critère et les critères précédents basés sur une analyse de bifurcation.