Convergence des sommes partielles

Que ce soit dans les résultats pré-existants ou dans ceux montrés dans le chapitre précédent, le comportement asymptotique des sommes partielles de champs aléatoires à longue mémoire a été étudié au travers de la convergence des lois fini-dimensionnelles. Il est intéressant, en vue d’applications, d’étendre cette convergence à une convergence fonctionnelle sur D. Nous présentons à cette fin un critère d’équitension des champs aléatoires dû à Bickel et Wichura (1971) que nous adaptons au cas des sommes partielles dans le corollaire 2 ci-dessous.Nous appliquerons ce critère d’équitension à différents cas de longue mémoire isotrope et non-isotrope dans les sections 4.2 et 4.3.est établie, en s’appuyant d’une part sur la convergence en loi fini- dimensionnelle montrée notamment dans le chapitre précédent et d’autre part sur l’équi- tension étudiée ici.Démonstration. Bickel et Wichura (1971) montrent en remarque de leur théorème 3 qu’il suffit de vérifier la condition (4.1.2) pour des ensembles du type Cn = [i1/n, j1/n[×. . .Nous montrons l’équitension des sommes partielles dans la situation standard de longue mémoire isotrope : lorsque le champ est une fonctionnelle de champs gaussiens, hypothèse de travail de Dobrushin et Major (1979).Nous considérons dans cette partie différentes situations de longue mémoire non- isotrope pour lesquelles nous montrons l’équitension des sommes partielles. Le champ X considéré est supposé issu du filtrage d’un bruit ξ à travers un filtre a comme dans (3.1.2) et les conditions de dépendance que nous considérons portent comme précédemment sur la fonction a.

L’objectif est de montrer l’équitension de Sn dans les situations de forte dépendance considérées lors de l’étude des lois fini-dimensionnelles du chapitre précédent : dans le (ii) du Théorème 7 en dimension d ≤ 2 ou dans les Théorèmes 10 et 11 en dimension dEn dimension d quelconque, nous considérons d’une part des filtres de type pro-duit tensoriel, chaque composante du produit étant homogène à une certaine puissance, d’autre part des filtres singuliers sur un sous-espace linéaire de [−π, π]d comme dans ledes sommes partielles. Celle-ci provient d’une part de la convergence des lois fini-dimensionnelles montrée dans des travaux préexistants en longue mémoire isotrope (par exemple dans Dobrushin et Major (1979)) ou étudiée dans le chapitre précédent, d’autre part de l’équitension des sommes partielles prouvée dans les sections précédentes.Remarque 20. Dans le cas où ξ est un bruit blanc fort, la limite obtenue dans le théorème précédent s’écrit comme une intégrale stochastique par rapport à la mesure spectrale d’un bruit blanc gaussien (voir la remarque 14 du chapitre précédent).Enfin le Théorème suivant se place dans deux situations de longue mémoire non- isotrope en dimension quelconque. Le champ X, défini par (3.1.2), est obtenu par filtrage d’un bruit. Le premier cas concerne des filtres singuliers sur tout un sous-espace linéaire de [−π, π]d et le résultat découle du Théorème 11 et de la Proposition 9. Le secondcas concerne des filtres de type produit tensoriel et la limite fonctionnelle des sommes partielles est dans un cas particulier le drap Brownien fractionnaire (voir la remarque ci-dessous) ; ce résultat se déduit du Théorème 10 et de la Proposition 9.

où c est une constante strictement positive indépendante de p, q et n qui peut varier de ligne à ligne. La dernière intégrale est finie (cf lemme 8 du chapitre précédent) et, puisque l’on peut mener exactement les mêmes majorations en inversant les rôles joués par p et q, on obtientdépendance contre la forte dépendance se basent sur une estimation des variations des sommes partielles de X (on trouve par ailleurs des tests d’adéquation à des familles de modèles). Dans tous les tests développés, l’alternative consiste en des modèles de processus à longue mémoire, typiquement des processus FARIMA. Lo (1991) a proposé un test reposant sur la statistique R/S qui estime la taille de l’ensemble des valeurs prises par les sommes partielles de X. Ce test, très utilisé en pratique, a été critiqué pour sa faible puissance. Le test KPSS a été initalement développé par Kwiatoski et al. (1992) pour tester la stationnarité (sous des hypothèses de faible dépendance) contre la présence d’une tendance déterministe ou la présence d’une racine unité. Lee et Schmidt (1996) ont remarqué que le test KPSS peut être adapté pour tester la courte mémoire contre la longue mémoire ; dans ce cas, la statistique de test repose sur une estimation du moment d’ordre deux des sommes partielles de X. Dans Giraitis et al. (2003), les auteurs introduisent la statistique V /S basée sur une estimation de la variance des sommes partielles de X ; le test qu’ils développent à partir de la statistique V /S pour tester la faible dépendance contre la forte dépendance s’avère plus puissant que le test basé sur la statistique R/S et que le test KP SS. Il est à noter que récemment, Giraitis et al. (2002) ont proposé un test basé lui aussi sur la statistique V /S qui permet de discrimer la stationarité de la présence de tendance déterministe ou de la présence d’une racine unité ; leur procédure, contrairement au test KPSS, englobe sous l’hypothèse nulle à la fois des processus stationnaires faiblement dépendants, mais aussi des processus à longue mémoire.