Détection et détectabilité de défauts

Introduction

Les méthodes de détection et de localisation de défauts en s’appuyant sur l’ACP ont été largement utilisées pour la surveillance de processus. Le principe de la surveillance basée sur l’approche de l’ACP repose principalement sur une modélisation du comportement de processus en fonctionnement normal. Les défauts sont alors détectés en comparant le comportement observé par rapport `a celui donné par le mod`ele ACP. En effet, la phase de détection de défauts est liée `a une étape de génération de résidus ou d’indices de détection qui a pour but de générer `a partir des mesures observées et d’un mod`ele ACP, des signaux révélateurs de la présence de défauts. A partir de l’analyse de ces indices, l’étape de détection doit alors indiquer l’existence ou non de défauts. Dans ce cadre, quelques indices typiques pour la détection des fonctionnements anormaux ont été proposés dans la littérature (Qin, 2003). En revanche, la plupart des méthodes de diagnostic utilisent plus particuli`erement l’erreur quadratique de prédiction (squared prediction error : SP E) et la statistique T2 de Hotelling qui sont souvent connues par les statistiques Q et D respectivement (Kresta et al., 1991; Kourti et MacGregor, 1995; Dunia et al., 1996; Dunia et Qin, 1998c; Qin, 2003). On note que ces deux indices de détection jouent des rˆoles différents dans la stratégie de surveillance par ACP. La statistique T2 décrit le comportement des variables du processus qui sont corrélées avec les composantes principales, tandis que la statistique SP E dépend de toutes les variables `a surveiller. En outre, celle-ci représente un test global qui cumule les erreurs de modélisation présentes sur chaque résidu (Harkat et al., 2006). L’indice SP E est utilisé dans le sous-espace résiduel. Tandis que l’indice T2 de Hotelling est utilisé dans le sous-espace principal. L’indice T 2 H de Hawkins (Hawkins, 1974) aussi appelé SW E (squared weighted error ) représente aussi les variations des données dans le sous-espace résiduel. Sa particularité par rapport `a l’indice SP E se manifeste par une pondération des résidus par les inverses des valeurs propres résiduelles. Néanmoins, d’autres indices sensibles `a l’ensemble de l’espace de représentation des données ont été également utilisés comme la distance combinée (Yue et Qin, 2001) et la distance de Mahalanobis. Dans le but d’améliorer les capacités de détection en utilisant la méthode d’ACP, un test basé sur les derni`eres composantes principales a été proposé par Harkat et al. (2002, 2005, 2006). Une telle description des indices de détection nous permettra de définir dans ce chapitre de nouveaux crit`eres de sélection du nombre optimal des CPs en se basant sur la variance non reconstruite afin de remédier aux limitations des crit`eres comparés dans le chapitre précédent. En effet, toute procédure d’un diagnostic de défauts repose d’une mani`ere cruciale sur la précision et l’efficacité du crit`ere considéré. Pour cela, nous allons prouver théoriquement l’influence de la modélisation par ACP sur la détectabilité de défauts. En s’appuyant sur le principe de la variance de l’erreur de reconstruction, il s’est avéré possible d’établir une variance non reconstruite associée `a chacun de ces indices de détection. Ce résultat nous a permis de proposer un crit`ere empirique relatif `a la distance combinée (Mnassri et al., 2010a). Ensuite, un nouveau crit`ere de même type, basé sur une nouvelle statistique combinée représente notre deuxi`eme contribution (Mnassri et al., 2010b). Ces contributions ont été également enrichies par un crit`ere plus performant. Ce dernier est basé sur un changement de représentation de données en envisageant que d’autres données sont beaucoup mieux révélatrices d’informations que les données observées réellement.

Détection et détectabilité de défauts

Dans le cadre de l’ACP, tous les indices de détection disponibles dans la littérature se caractérisent par une forme quadratique (Yue et Qin, 2001; Qin, 2003; Alcala et Qin, 2009, 2011). Par conséquent, les procédures de détection, isolation et diagnostic de défauts peuvent être généralisées en considérant un indicateur généralisé ou unifié. Le succ`es de l’utilisation de l’ACP pour la surveillance de processus a été enrichi par le développement de certains concepts fondamentaux de performance comme la détectabilité de défauts. En effet, la détectabilité représente la capacité d’un indice donné, `a détecter la présence de défauts. Dans la littérature, ce concept a été développé plus particuli`erement pour l’indice SP E et la distance T2 de Hotelling (Dunia et Qin, 1998b,c,a; Yue et Qin, 2001; Qin, 2003). Pour cela, nous proposons une étude généralisée de détectabilité valable pour tout indice de détection ayant une forme quadratique. 3.2.1 Détectabilité généralisée de défauts Considérons γ et Γ2 respectivement un indice quadratique de détection et sa limite de contrˆole. γ peut être n’importe quel indice de détection parmi ceux qui existent dans la littérature (voir tableau 3.1). Mathématiquement, γ représente une distance quadratique qui est égale au carré de la norme euclidienne du vecteur x(k) projeté dans un sous-espace vectoriel Sγ = span{M1 2 } : γ(k) = kM1 2 x(k)k 2 = x T (k)M x(k) (3.1) o`u M 1 2 est une matrice semi-définie positive. k est le numéro de l’observation considérée. En s’appuyant sur les travaux de Box (1954), le seuil de détection de la distance quadratique γ pour un nombre d’observations N important peut être approximé par une distribution de la forme gγχ 2 (hγ ,α) , o`u χ 2 (hγ ,α) est la distribution du χ 2 avec hγ degrés de liberté et un seuil de signification α. On note que le niveau de confiance est égale `a (1−α). En se basant sur l’indice γ, le processus est considéré en fonctionnement normal `a la k`eme observation si : γ(k) ≤ Γ 2 = gγχ 2 (hγ ,α) (3.2) Les param`etres gγ et hγ peuvent être déterminés comme suit : gγ = tr[(ΣM) 2 ] tr[ΣM]

Indice SPE

L’indice SPE assure la détection de défauts dans le sous-espace résiduel. Son expression, `a l’instant k, est donnée par : SP E(k) = kx˜(k)k 2 = kCx˜ (k)k 2 = x T (k)Cx˜ (k) = k˜t(k)k 2 (3.17) La distance SP E est un indicateur global qui somme les résidus sans tenir compte de leurs variances différentes. Toutefois, les résidus avec forte variance portent les erreurs de modélisation produites par l’ACP. Ainsi, ils ont plus d’effets sur la quantité SP E que les résidus ayant une faible variance et qui représentent réellement les relations de redondance linéaires ou quasi-linéaires. Par conséquent, l’indice SP E est tr`es sensible aux erreurs de modélisation, ce qui peut entraîner de nombreuses fausses alarmes ou l’absence de la sensibilité `a la détection de défauts en raison d’un seuil théorique élevé (Tharrault, 2008).

Indice SWE

L’indice T 2 H de Hawkins ou SW E est généralement plus sensible aux défauts (Westerhuis et al., 2000b). Il peut être défini comme l’indice SP E calculé avec des CPs résiduelles pondérées. Aussi, son expression est une implémentation symétrique de la statistique T2 de Hotelling dans le sous-espace résiduel .  Un probl`eme de conditionnement est considéré comme l’inconvénient d’un tel indice. En effet, le calcul numérique de cet indice peut rencontrer des erreurs lorsque les derni`eres valeurs propres de la matrice Σ sont tr`es proches de zéro. Néanmoins, ce probl`eme de conditionnement apparaît seulement en absence de bruit de mesures (Tharrault, 2008). La présence d’erreurs de modélisation se traduit par une augmentation des variances des projections dans le sous-espace résiduel. Ainsi, les fortes variances peuvent limiter la performance de détection de défauts avec l’indice SP E. En effet, la pondération avec les valeurs propres de Σ en utilisant l’indice SW E peut être considérée comme une solution prometteuse. L’indice SW E est plus robuste pour la détection de défauts que celui du SP E (Westerhuis et al., 2000b).