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EQUATIONS GENERALES DE LA DYNAMIQUE DES FLUIDES PARFAITS
Dans ce qui suit, nous nous limiterons aux mouvements des fluides parfaits, c’est à dire sans frottement (fluides non visqueux). Cependant, il nous arrivera parfois d’indiquer dans les équations comme peuvent s’introduire d’autres termes caractérisent les fluides réels.
Nous étudierons tout particulièrement le cas des fluides incompressibles.
Equations d’Euler
Si on étudie les forces qui réagissent sur un élément de volume, on distingue :
a)-Les forces de volume, proportionnelles à l’élément de volume ;
b)- Les forces de pression, proportionnelles aux éléments de surface et normales à ces éléments.
d) – Les forces d’inerties proportionnelles à l ’accélération au volume.
Dans un système de coordonnées triangulaire.
(1) Cette expression est valable que pour une particule d’individualité donnée ; on ne Peut donc l’appliquer qu’en suivant la particule da ns son mouvement ;
Par ailleurs ; étant une accélération absolue, les formulations ueq nous déduisons de l’équation (1) ne seront valable que dans un référentiel absolu.
Les équations de la dynamique de fluides sont souvent utilisées sous une autre forme.
Considérons la trajectoire d’une particule et soit , deComposantes u, v, w sa vitesse à l’instant t.CesComposantes sont fonctions de x, y, z et t.
Autres équations de la dynamique des fluides parfaits.
Les caractéristiques du mouvement d’un fluide dépendent de 6 inconnues u, v, w, P, . Les équations précédntes sont au nombre de 3 , il n faut donc 3 autres pour résoudre les problèmes de dynamique. Ce sont les suivants :
L’équation de continuité: elle a été établi dans le chapitre précédent, elle traduit le principe de conservation de la masse
L’équation complémentaire:
Cette équation est fournie par la thermodynamique, elle caractérise le type de transformation subie par le fluide en mouvement.
En fluide parfait nous supposerons les transformations réversibles (pas de frottement), les lois sont alors relativement simples.
Les plus usuels sont :
a )-Pour une transformation isotherme : Température constante. L’équation d’état est donc : = Cte Pour un liquide incompressible ; p = Cte Pour un gaz parfait
Pour une transformation adiabatique, on peut encore admettre pour un liquide incompressible (à condition de ne pas se trouver da ns le voisinage du point critique), Cte s’il s’agit d’un gaz parfait (l’écoulement était déjà supposé réversible, il est donc isentropique).
Conditions aux limites : Les six équations précédentes à six inconnus peuvent avoir ou non une ou plusieurs solutions. De toute façon c es solutions, si elles existent, contiennent des constantes d’intégration qui seront déterminéespar les conditions initiales.
Pour un fluide parfait, les conditions aux limites sont habituellement définies par des parois fixes ou mobiles, ou par des surfaces libres.
Paroi mobile : On exprime que la composante de la vitesse du fluide suivant la normale à la paroi est égale à la composante de la vitesse de la paroi suivante cette normale.
Exprimons maintenant, qu’en chaque point, tout le long de M , les particules fluides ont, dans la condition normal (l, m, n) une composante de vitesse égale à a. Il suffit pour cela, de projeter leur vitesse (u, v, w) dans cette direction.
Cela donne : a = lu + mv + nw
Surface libre : Le long de cette surface la pression est constante (pression atmosphérique), elle doit donc vérifier : P(x, y, z, t) = 0
Le long de cette surface isobare la vitesse u, v, w d’une particule fluide doit avoir la même vitesse normale que celle d’un point de la surface. La condition à exprimer est donc identique à la précédente, il suffit de remplacer F par P.
Cette équation vectorielle est aussi vraie en projection sur une direction quelconque Prenons un système d’axes de coordonnés liés à la rajectoire tel qu’au temps t = 0, en M (fig.4).
• ox soit confondu avec la tangente,
• oy soit confondu avec la normale principale
• oz soit confondu avec la binormiale
Cas particulier
Les écoulements définies par les équations (13) sont les plus importants au point de vue pratique et ces expressions sont très utiles car elles permettent d’étudier d’une manière simple les variations de Pg le long des lignes de courant ou le long de leur normales.
Etudions quelques cas particulier important correspondant à ce deuxième aspect.
a) R =∞. Le rayon de courbure étant infini, les trajectoires sont des droites (pas forcement parallèle).
Dans ces conditions nous trouvons
– Dans le cas général (équation 11)
– Dans le champ de pesanteur (équation 13) : g 0
Dans ce dernier cas, l’expression P + gh reste constante quand se déplace normalement aux trajectoires : la répartition de pression en Hydrostatique.
Table des matières
INTRODUCTION
PREMIERE PARTIE :Les différentes formes d’équations de la dynamique des fluides parfaits
Chapitre-I.EQUATIONS GENERALES DE LA DYNAMIQUE DE FLUIDE PARFAIT
I-1.-Equation d’Euler
I-2.-Autres formes des équations d’Euler
1-3.-Autres équations de la dynamique de fluide parfait
I-3-1.-L’équation de continuité
I-3-2.-L’équation caracteristique de fluide
I-3-3.-L’équation complémentaire
I-4.-Conditions aux limites
I-4-1.-Parois fixe
I-4-2.-Parois mobile
I-4-3.-Démonstration
I-4-4.-Surface libre
I-4-5.-Surface de continuité
I-5.-Equation intrinsèque
I-6.-Cas particulier
Chapitre-II.- RELATION DE BERNOULLI
II-1.-Etablissement de l’équation de Bernoulli
II-2.-Interprétation énergétique de l’équation de Bernoulli
II-3.-Formules d’application pratique
II-3-1.-Cas des gaz
II-3-2.-Cas des liquides
II-4.-Ecoulement à énergie constante
II-5.-Généralisation de la formule de Bernoulli
II-5-1.-Cas d’un fluide traversant une machine hydraulique
II-5-2.-Cas des mouvements en rotation constante autour d’un axe fixe
II-5-3.-Cas des fluides réels
II-5-4.-Cas du mouvement non permanent
II-5-5.-Généralisation
II-5-6.-Formule de Bernoulli généralisée
Chapitre-III.-THEOREME DE QUANTITE DESMOUVEMENTS
III-1.-Théorème d’Euler
III-2.-Enonce pratique du théorème d’Euler
DEUXIEME PARTIE: Application de la formule de Bernoulli
Chapitre-IV.-APPLICATION DU THEOREME DE BERNOULLI
IV-1.-Formule de Torricelli
IV-1-1.-Cas d’un liquide
IV-1-2.-Cas d’un gaz
IV-2.-Calcul du débit d’un orifice: coefficient de contraction
IV-2-1.-Orifice à mince parois
IV-2-2.-Orifice quelconque
IV-2-3.-Orifice large rectangulaire
IV-2-4.-Etude général des jets
IV-3.-Ecoulement réel par un orifice
IV-3-1.-Coefficient de vitesse et de débit
IV-3-2.-Rendement d’un orifice
IV-3-3.-Temps de vidage d’un récipient
IV-4.-Pression dans une conduite. Tube piézométrique
IV-5.-Pression en un point d’arrêt
IV-5-1.-Cas des liquides
IV-5-2.-Cas des gaz
IV-6.-Tube de Pitot
IV-7.-Phénomène de venturi
IV-7-1.-Tube venturi
IV-7-2.-Diffuseur de turbine
IV-8.-Application du théorème de Bernoulli généralisé (Théorème de Cotton-Fortier
IV-8-1.-Cas d’un convergent
IV-8-2.-Cas d’un divergent
Chapitre-V.-QUELQUES EXEMPLES D’APPLICATION DE LA FORMULE DE BERNOULLI
V-1.-Relation entre la pression atmosphérique et la pression à l’intérieure d’un verre ou d’un tube contenant de fluide
V-2.-Cas de robinet
*Effet Magnus
V-3.-Tuyau de section variable
*Effet venturi
V-4.-Expérience sur un tube de caoutchouc
V-5.-Le jet d’air
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
*Annexe-I.-BARRAGE
I-1.-Histoire
I-2.-Etudes hydrauliques
I-3.-Vies de barrage
I-3-1.-Catastrophe
I-3-2.-Séismes
I-4.-Conséquences environnementales
I-4-1.-Impacts négatifs
I-4-2.-Impacts positifs
*Annexe-II.-HISTOIRE DEDANIEL Bernoulli
II-1.-Biographies, travaux
II-2.-Publications
