Contribution à la mise en oeuvre de fonctions
accordables à MEMs RF en bade millimétrique sur
silicium

THEORIE GENERALE DU FILTRE

 Définition du filtrage 

Le filtrage d’un signal est défini par l’action de séparer la composante utile d’un signal de la composante inutile. Les filtres sont séparés en quatre catégories : passe-bas, passehaut, passe-bande et coupe-bande. La Figure I.1 illustre le gabarit du filtre idéal pour chacune de ces catégories. |H(jω)| ωC ω 1 0 |H(jω)| ω 1 0 ωC |H(jω)| 1 0 ω1 ω0 ω2 ω |H(jω)| ω1 ω2 ω 1 0 ω0 (a) (b) (c) (d) Figure I.1 : Gabarit des filtres idéaux : (a) passe-bas, (b) passe-haut, (c) passe-bande et (d) coupe-bande Tous les filtres passe-haut, passe-bande et coupe-bande peuvent être obtenus à partir de filtre passe-bas normalisé via des transformations de fréquence [1]. En effet, un filtre passe-bas est constitué de deux éléments : inductance et capacité. Donc, les réseaux LC des filtres (passe-haut, passe-bande, coupe-bande) se déduisent du prototype passe-bas par une simple transformation en fréquence. a/ Transformation passe-bas à passe-haut : L 1/( ω L) c C 1/( ω C) c avec ωc est la pulsation de coupure. Chapitre I : Etat de l’art du filtrage microonde reconfigurable  – b/ Transformation passe-bas à passe-bande  est la pulsation centrale, ω1 : la pulsation de coupure basse, ω2 : la pulsation de coupure haute, donc : ω0 = ω1ω 2 0 2 1 ω ω −ω ∆ = : la bande passante fractionnelle. c/ Transformation passe-bas à coupe-bande.

Approximations 

 Le filtre idéal est irréalisable à cause de l’antagonisme entre la phase et l’amplitude. En effet, la réalisation d’un filtre idéal en amplitude et en phase ne satisfait pas au principe de causalité [2] et à la relation de Bayard-Bode . Il faut donc définir une fonction d’approximation soit en amplitude soit en phase. De plus, en considérant les contraintes importantes imposées sur l’amplitude dans les systèmes actuels en termes de pertes et de réjection, seules les approximations en amplitude sont considérées . Il existe trois approximations principales : Butterworth, Tchebychev et Elliptique. 

Approximation de Butterworth

 Cette approximation fournit une réponse en bande passante la plus plate possible. Pour un filtre passe-bas, la réponse en amplitude est spécifiée par le coefficient de transmission :  où N est l’ordre du filtre et ωC est la pulsation de coupure. 12 10 12 S dB = 20log S (I.2) Pour de tels filtres, l’atténuation devient vite très faible pour ω < ωC et augmente rapidement dès que ω> ωC. L’atténuation (en dB) pour cette approximation est définie par. A la pulsation de coupure ωC, l’atténuation est de 3 dB. On constate que l’atténuation du filtre est d’autant plus élevé que l’ordre du filtre augmente (Figure I.2). Une telle réponse constitue une bonne approximation en amplitude du filtre passe-bas idéal dans la mesure où l’ordre du filtre est élevé.

 Approximation de Tchebychev 

Cette approximation fournit une ondulation en bande passante mais aussi une coupure plus nette par rapport à l’approximation de Butterworth. Pour un filtre passe-bas, la réponse en amplitude est spécifiée par le coefficient de transmission : Chapitre I : Etat de l’art du filtrage microonde reconfigurable où ε représente l’erreur maximale dans la bande passante (ou ondulation), et TN(ω) le polynôme de Tchebychev d’ordre N, tels que avec Lar l’ondulation maximale dans la bande passante exprimée en dB.Une telle fonction d’approximation trouve son intérêt dans la possibilité de fixer l’erreur maximale dans la bande passante (Figure I.3). De plus, selon le niveau d’erreur toléré dans la bande passante, il est possible d’obtenir des niveaux importants de réjection dans la bande atténuée sans pour autant augmenter l’ordre du filtre (Figure I.4). Figure I.3 : Réponse d’un filtre de Tchebychev pour différents ordres avec Lar = 0.05 dB Chapitre I : Etat de l’art du filtrage microonde reconfigurable Lar = 0.05 dB Figure I.4 : Réponse d’un filtre de Tchebychev pour différentes valeurs d’erreurs maximales 

Approximation d’Elliptique

 Les deux approximations Butterworth et Tchebychev ont une augmentation monotone d’atténuation dans la bande atténuée ce qui n’est pas adapté aux applications où des atténuations élevées sont requises. L’approximation d’Elliptique se caractérise par une équiondulation à la fois dans la bande passante et dans la bande atténuée . De plus, elle possède des zéros de transmission dans sa réponse électrique qui permettent d’atteindre un bon niveau de sélectivité pour un ordre de filtre restreint. Pour un filtre passebas, la réponse en amplitude est spécifiée par le coefficient de transmission :où ε est un paramètre déterminant l’ondulation dans la bande passante à la pulsation de coupure ωC et CN est une fonction elliptique d’ordre N. La Figure I.5 illustre un exemple de réponse de l’approximation d’Elliptique. Un inconvénient de cette approximation est que les zéros de transmission sont fixés à certaines fréquences. De plus, cette approximation est difficile à synthétiser.