Etude des problèmes instationnaires

On se propose dans ce projet de simuler numériquement la propagation de pertur- bations aéroacoustiques dans un guide d’onde bidimensionnel.Une telle étude, théoriquement en domaine libre, pose le problème incontournable de la limitation du domaine qui sera abordé sous deux aspects totalement différents: le premier consistera à écrire des conditions aux limites absorbantes à l’ordre 1 alors que le second utilisera une méthode PML.On examinera dans un premier temps les linéarisations naturelles des équations d’Euler, en s’intéressant plus particulièrement au cas des perturbations barotropes pour lesquelles on indiquera les conditions aux limites qui mènent à un problème bien posé.On introduira ensuite les méthodes de Galerkin discontinues appliquées à ce problème et l’on explicitera le schéma utilisé pour les simulations numériques dont certains résultats seront présentés (une condition d’absorption des ondes normales étant utilisée).Le modèle PML, d’une grande importance pour la suite de ce travail, sera présenté en troisième partie, discrétisé puis mis en œuvre numériquement.On considère un écoulement porteur stationnaire subsonique régulier vérifiant les équations d’Euler stationnaires (la convention d’Einstein sur les indices répétés sera systématiquement utilisée):(σ0 étant l’entropie volumique) et le bilan d’énergie pourront être indifféremment utilisés, la loi d’état s’écrivant alors soit P0 = P0(ρ0, e0) soit P0 = P0(ρ0, σ0).De plus, si le fluide porteur est barotrope, la loi d’état s’écrit P0 = P0(ρ0) et seules les quatre premières équations sont à considérer.

Linéarisation entropique des équations d’Euler

Sous des hypothèses convenables sur les données du problème, il est toujours possible, par linéarisation à l’ordre 1 des équations d’Euler, d’obtenir un système linéaire symétrique (de Friedrichs) bien posé. Celui-ci, non nécessairement stable, dépend de la loi d’état de l’écoulement porteur.On se propose maintenant de montrer que l’hypothèse supplémentaire des pertur- bations barotropes conduit également à un système symétrique linéaire, bien posé pour un certain nombre de conditions aux limites, et indépendant de la loi d’état de l’écoulement porteur.qui, en choisissant α de manière convenable, sera toujours définie positive. Ainsi, si les coefficients des Ai et de B sont par exemple dans W 1,∞, on pourra supposer par la suite que K Â 0. Ceci est à la base du choix des conditions aux limites rendant L’opérateur n’est donc pas elliptique, ce qui présente certaines difficultés, notam- ment quant à l’étude du caractère bien posé du problème et à l’approximation. On montrera cependant que pour une large classe de conditions aux limites, (8) est un problème bien posé pour lequel on sait définir des approximations pertinentes.

On retrouve la partie non diagonale de l’opérateur, qui correspond, comme dit précédemment, à l’équation des ondes sous forme d’un système d’ordre 1.On peut alors définir différentes conditions d’obstacle: ρ =0(nœud de pression),Les conditions aux limites nous intéressant particulièrement dans ce cas sont les conditions de non réflexion à l’ordre 1 (parfaitement absorbantes pour les ondes normales), approximation au premier ordre de l’opérateur de non réflexion.l’on peut présenter comme une généralisation des méthodes de volumes finis, ont été introduites par Lesaint dès 1975 et sont aujourd’hui fortement utilisées. Dans un souci de continuité avec le stage, les méthodes de Galerkin générales, bien que restreintes aux simples volumes finis dans ce projet, seront sommairement présentées dans ce chapitre.Cependant, cet ordre d’erreur ne pourra être conservé que si la dérivée en temps de (14) est bien approchée. On montre par exemple que pour r =0(volumes finis), l’erreur reste en O(h Remarque 16 Pour établir le schéma d’approximation des volumes finis, on pour- rait également considérer la formulation variationnelle spatiale uniquement, la dis- crétiser spatialement en utilisant les fonctions de base comme fonctions test, et utiliser le schéma d’Euler explicite pour discrétiser le problème temporel obtenu. Cependant, le choix de la semi-discrétisation spatiale ne permettant pas d’envisager facilement la propagation de discontinuités.