Cours étude d’une courbe paramétrée, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Courbes paramétrées

Définitions et exemples

On munit le plan d’un repère orthonormé (O, i, j). Une courbe paramétrée est donnée par une application F d’un intervalle I de R dans R2. La courbe en question est l’image de l’application
: C := F(I) = {F(t); t ∈ I}.

Exemple

1. Droite : Soit A = (x0, y0) ∈ R2 un point et v = (a, b) ∈ R2 r {(0, 0)} un vecteur ; la courbe paramétrée qui détermine la droite passant par A et ayant v comme vecteur directeur est donnée par :
F : R −→ R2 t 7−→ (x0 + at, y0 + bt)
2. Cercle : Soit A = (x0, y0) ∈ R2 un point et r > 0. Le cercle de centre A et de rayon r est d’équation algébrique : (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2 ainsi la courbe paramétrée qui le détermine est donnée par :
γ(A, r) : R −→ R2
t 7−→ (x0 + r cos(t), y0 + r sin(t))
3. Ellipse : d’équation algébrique :
(x − x0)2 a2 + (y − y0)2     b2 = 1 est donné par :
F : R −→ R2
t 7−→ (x0 + a cos(t), y0 + b sin(t))
4. Hyperbole : D’équation algébrique :
x2 a2 −y2     b2 = 1 est donné par :
F : R −→ R2
t 7−→ (a cosh(t), b sinh(t))

Étude d’une courbe paramétrée

Réduction du domaine de définition

Étant donné une courbe paramétrée définie par une fonction F : I −→ R2, t 7−→ (x(t), y(t)).
Le domaine de définition de F est DF := Dx ∩ Dy.
Pour réduire le domaine d’étude de cette courbe (et la tracer), on utilise la périodicité et la parité de F. En pratique, pour tout t ∈ I, on cherche t′ ∈ I qui dépend de t qui vérifie certaines propriétés ; en générale on cherche t′ sous la forme t′ = −t, t + λ, t .
Dans ce cas, on divise I = J ∪ J′ et on fait l’étude (et on trace la branche de la courbe) sur J et on termine la courbe par la symétrie convenable.

Périodicité

Si F(t′) = F(t) pour tout t ∈ J, alors on fait l’étude sur J et la courbe sera entièrement déterminée (la courbe est parcourue plusieurs fois sur I). Comme cas particulier si F est périodique de période T > 0 (i.e. ∀t ∈ I on a t ± T ∈ I et F(t + T) = F(t)) alors il suffit de faire l’étude sur un intervalle J ⊂ I de langueur T et la courbe sera entièrement déterminée.

Symétrie centrale

Si on a pour tout t ∈ J, il existe t′ ∈ J′ tel qu’on ait
x(t′) = 2α − x(t) y(t′) = 2β − y(t).
alors la courbe paramétrée C est symétrique par rapport au point A = (α, β). On fait l’étude sur J et on termine par la symétrie SA.
Comme cas particulier, si x(.) et y(.) sont impaires (I est symétrique et x(−t) = −x(t) et y(−t) = −y(t)) on fait l’étude sur I+ = I ∩R+ et on termine par la symétrie centrale SO de centre l’origine.

Symétrie axiale

1. Si pour tout t ∈ J on a x(t′) = 2α − x(t) y(t′) = y(t).
alors la courbe paramétrée C est symétrique par rapport à la droite d’équation : x = α.
On fait l’étude sur J et on termine par la symétrie S.
Comme cas particulier, si x(.) est impaire mais y(.) est paire (I est symétrique et x(−t) = −x(t) et y(−t) = y(t) .
2.Si pour tout t ∈ J on a x(t′) = x(t) y(t′) = 2β − y(t).
alors la courbe paramétrée C est symétrique par rapport à la droite d’équation D : y = β.
On fait l’étude sur J et on termine par la symétrie SD .
Comme cas particulier, si x(.) est paire mais y(.) est impaire (I est symétrique et
x(−t) = x(t) et y(−t) = −y(t), on fait l’étude sur I+ = I ∩ R+ et on termine par la symétrie axiale S(Ox).
3. Si pour tout t ∈ J on a x(t′) = y(t) y(t′) = x(t).
alors la courbe paramétrée C est symétrique par rapport à la droite d’équation D : y = x. On fait l’étude sur J et on termine par la symétrie SD.

Translation

Si pour tout t ∈ J on a x(t′) = x(t) + α y(t′) = y(t) + β. alors On fait l’étude sur J et on termine par la translation τv de vecteur v = (α, β).

1 Courbes paramétrées 
1.1 Définitions et exemples
1.2 Étude d’une courbe paramétrée
1.2.1 Réduction du domaine de définition
1.2.2 Étude locale
1.2.3 Branches infinies
1.3 Exemples
1.4 Exercices