Alphabet à deux éléments

Dans cette section, il sera question de l’étude des propriétés d ‘un alphabet A comportant deux éléments A = {a, b}. Ce cas particulier est important dans la présente étude puisqu’il est en lien avec les solut ions de l’équation de Schrëdinger. D’une façon analogue, le cas d ‘un alphabet à un élément pourrait servir à l’étude des intégrales itérées rencontrée en (1.3) dans la méthode de résolution de Picard. Plusieurs des égalités présentées dans cette section proviennent de [3]. 14 Définition 1.4.0.1 ([3]) Soit p,q,j E Z>o tels que min(p,q) 2: j. Soit Sp+q,j l’ensemble de tous les mots dans (ab)P w (ab)q contenant le sous-mot a2 exactement j fois. La somme de tous les mots contenus dans Sp+q,j sera notée Tp+q,j E Q (A) . Cette définition implique que S soit invariant sous toute partition de p + q car les occurrences mult iples du même mot ne sont pas considérées. Proposition 1.4.0.1 Pour tout p, q E Z>o, la relation suivante est valide min(p,q) . ( p+q- 2J ‘ ) (ab)P w (ab)q =  » 4) . T + ‘. ~ p – J p q,) )=0 (1.29) Démonstration. Soit u E Sp+q,j, un mot arbitraire de longueur p + q possédant j fois a2. Le nombre de fois que u apparaît dans (ab)P w (ab)q peut être calculé en comptant le nombre de façon de colorer en deux couleurs u : une couleur (bleue) pour les lettres provenant de (ab)P et une (rouge) pour (ab)q. Le coloriage doit cependant rester compatible avec les règles du shuffie produit. Le nombre de a dans u est p + q et par hypothèse 2j d’entre eux sont dans des facteurs de la forme a2 . Le nombre de a entourés de b des deux côtés (sauf pour le potentiel premier a seul) est p + q – 2j. De ces a, on en trouve p – j qui sont colorés bleus et donc génèrent une multiplicité de (p~~j2j) à u. Les doublons a2 peuvent soit être colorés bleu-rouge ou rouge-bleu (l’un vient nécessairement de chacun des termes). Il y a, au total, j doublons de ce type, impliquant l’ajout d’un facteur multiplicatif 2j . Chaque doublon a2 implique la présence d ‘un doublon b2 pouvant aussi être coloré de deux façons multipliant le tout encore d ‘un facteur 2j . Les derniers b ont une couleur uniquement déterminée par les règles du shuffie produit. Par conséquent, le nombre total de façons de former u est donné par 4j (P~~j2j). Étant donné que tous les éléments de Tp+q,j sont de même multiplicité, il est possible de sommer sur j ce qui complète la preuve.

Théorie de Sturm-Liouville

Ce chapitre a pour but d’introduire la théorie de Sturm-Liouville. Cette théorie permettra d’asseoir l’étude de l’équation de Schrodinger. De plus, ce chapitre permettra de poser les bases de l’étude des équations différentielles linéaires ordinaires du deuxième ordre. Il sera alors possible d’étudier ces équations de façon similaire à l’équation de Picard du chapitre précédent (1.3). La section est fortement inspirée des notes de cours de [10], [21], [27]. Dans le cas du problème de Sturm-Liouville, il est plus simple de traiter le problème en termes d’espace vectoriel normé. Pour ce faire, les concepts de base seront rappelés ici. Définition 2.0.0.1 (Espace vectoriel) Un espace vectoriel sur un corps commutatif K est un ensemble E d ‘éléments nommés vecteurs munis de deux lois. Une loi de composition interne + telle que + : E 2 -7 E appelée somme vectorielle, formant avec E un groupe abélien respectant : 1. u + v = v + u , Vu, v E E 2. u+(v+w)=(u+v)+w, Vu,v,w E E 3. 30 E Elu + 0 = u, Vu E E 4. Vu E E 3( -u) E E tel que u + (-u) = O. C’est donc une loi commutative, associative, possédant une identité et des inverses pour chaque élément. De son côté la loi notée· telle que· : K x E -7 E est appelée multiplication par un scalaire. La loi . vérifie les propriétés suivantes : 1. À· (u + v) = (À· u) + (À· v), Vu,v E E, À E K 2. (ÀJ.L)· u = À· (J.L. u), Vu E E , À, J.L E K 3. (À+J.L)·u=(À·u)+(J.L·u), Vu,v E E, À,J.L E K 4. 1· u = u. Les éléments de E sont appelés vecteurs et ceux de K sont appelés scalaires. Un autre concept important dans l’étude des espaces vectoriels est le concept de norme et, par conséquent, d ‘espace normé. Une norme est une façon de définir la longueur des vecteurs de l’espace. Elle permet aussi de définir la distance entre deux vecteurs en mesurant la norme du vecteur séparant ces deux vecteurs.

Définition

(Sturm-Liouville régulier avec conditions aux frontières) Soit p(x), r(x) deux fonctions continues non nulles de telle sorte que p(x) soit une fonction Cl sur (a, b) . Le problème de Sturm-Liouville avec conditions aux frontières s’énonce alors de la façon suivante: (p(x)y’ )’ + q(x)y = -Àw(x)y, aoy(a) + aly'(a) = 0, f3oy(b) + f3ly'(b) = 0, (ao,ad, (f30,f3l) « 1=0. (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) De plus, il sera exigé que w(x) > 0 pour x E (a , b). Cette fonction est appelée fonction poids. La raison de cette application apparaîtra lorsque la norme de l’espace, où réside l’équation de Sturm-Liouville, sera présentée. Ce problème est appelé problème de Sturm-Liouville régulier contrairement à la version singulière, où on permet des fonctions non nulles. Ici nous nous intéresserons, par souci de simplicité, au cas régulier. Ce problème peut sembler similaire, on pourrait même croire qu’il est possible de le transformer comme le problème précédent. Cependant la distinction est beaucoup plus subtile comme le montre l’exemple suivant. 27 Exemple 2.0.3.1 Soit p(x) = l, q(x) = 0, w(x) = 1 et L > 0 alors l ‘équation différentielle (2.0.3.1) avec les conditions aux frontières y(O) = O,y(L) = 0 devient d2 dt2y(t) + )..y(t) = 0, y(O) = 0, y(L) = O. (2.28) La solution de cette équation, sans considérer les conditions aux frontières, dépend du paramètre).. et d ‘un coefficient d’intégration c; elle est donnée par YÀ(x) = csin(J>:x). (2.29) La première équation frontière est automatiquement respectée pour tout couple (c,)..). La seconde équation frontière implique que sin( J>:L) = 0, (2.30) par conséquent ~ est multivalué et est donné par (br) 2 )..k= L ‘ kEN. (2.31) Il Y a donc une liste de solution au problème de Sturm-Liouville précédent (à une constante multiplicative près) de la forme ()..k, Yk), kEN. La solution n’est donc plus unique comme présentée au théorème précédent.

Il n’est même pas certain de pouvoir en trouver une seule. Par conséquent, le problème avec conditions aux frontières ne possède des solutions que pour certaines valeurs de )… Le prochain exemple, bien que trivial, permet de bien imager le problème. Exemple 2.0 .3.2 Avec les mêmes paramètres que (2.0. 3.2) et des conditions aux frontières différentes, le problème devient d2 dt2y(t) + )..y(t) = 0, y(O) = O,y(7r) = a. (2 .32) Clairement ici, aucune solution n’existe pour a 1’= O. Les prochains théorèmes traiteront de l’étude des couples ()..k, Yk) pour un groupe d ‘équations données. Dans un premier temps, il sera nécessaire de restreindre l’espace des conditions front ières possibles puisque, comme nous avons vu, certaines engendrent des problèmes sans solutions. Pour ce faire, la formule de Green sera nécessaire. Définition 2.0.3.2 Soit L l’opérateur linéaire défini par l’équation de Sturm-Liouville (2.0.2.1) tel que L [<p(x)] = d~ [p(X) d~ <p] + q(x)<p(x). 28 Selon cette définition il est possible d’écrire le problème de Sturm-Liouville tel que L[4>] = – À.w4>. L’opérateur L est linéaire, pour deux fonctions 4>, ‘l/J et deux constantes Cl, C2 on trouve que Proposition 2.0.3.1 Soit p(x) et q(x) deux fonctions réelles, alors L [u]* = L[u*], (2 .33) où l’opérateur «*» représente le complexe conjugué. Démonstration. Le complexe conjugué commute avec les dérivées et la multiplication de fonctions. Par conséquent, il peut être entré dans l’équation et agir directement sur la solution u. On obtient donc trivialement l’égalité précédente. 0 Avant de pouvoir écrire la formule de Green, il est nécessaire d ‘étudier le comportement de l’intégrale d’une fonction quelconque multipliée par une autre fonction, où l’opérateur L est appliqué. Proposition 2.0.3.2 Soit p(x), q(x), f(x) et g(x) des fonctions réelles, lisses et intégrables sur (a, b) , alors lb dg 1 b lb df dg lb a f L[g]dx = p(x)f(x) dx a – a p dx dx dx + a qfgdx. (2.34) Démonstration. La preuve se fait aisément en intégrant par parties. o Cette identité nous permet d’obtenir la formule de Green énoncée au théorème suivant.

Le cas de l’équation de Schrodinger

Cette section mettra l’accent sur un cas particulier du problème de Sturm-Liouville propre à la physique quantique. Nous étudierons dans le détail l’équation de Schrodinger. Considérons un problème simple de la mécanique classique. Soit une particule au sens de Newton (ponctuelle et non relativiste) avec une masse m sujette à un champ de force F. 47 Sachant l’expression du champ de force pour tout temps t et pour toutes positions et sachant la position et l’impulsion de la particule à un temps ta, il est possible, grâce à la physique classique, de déterminer la position if(t) et l’impulsion p(t) de la particule pour tout temps t ainsi que toute autre quantité physique dite mécanique. L’équation déterminant l’évolution de ces quantités est donnée simplement par et – dp F= dt’ _ dif P = dt· En mécanique classique toutes les quantités mécaniques u peuvent s’exprimer comme une combinaison de la position et du moment telle que u = u(if,PJ . Une façon de traiter le problème en mécanique quantique est au travers de la fonction d’onde et l’équation de Schrëdinger. En mécanique quantique l’information sur un système quantique est contenue dans ce qui est appelé la fonction d’onde notée w(r, t) et non pas par la position if de la particule et par son impulsion p. Pour une particule isolée, par exemple, la position et l’impulsion de la particule ne peuvent pas être déterminées simultanément dans le régime quantique. La connaissance complète de l’un implique une absence totale de la connaissance de l’autre. L’équation pour une particule isolée dans un potentiel évoluant dans le temps est donnée par in :t w(r, t) = [~~ \72 + V(r, t)] w(r, t) , où n est la constante de Planck, m la masse de la particule et \72 est le laplacien défini par V(f, t) est une fonction du temps et de la position que l’on nomme le potentiel, il est analogue au potentiel classique qui, pour rappel, génère une force sur la particule proportionnelle à son gradient. L’impulsion de la particule est représentée par l’opérateur p et, l’opérateur hamiltonien ÎI indépendant du temps, est donné par A2 A P H = 2m + V(x), A .~ d P = -Z/L-. dx L’opérateur hamiltonien correspond à l’énergie de la particule. Dans le cas de la mécanique classique, l’hamiltonien est la transformée de Legendre du Lagrangien et est donné par Hclass = E = T + V .

L’hamiltonien est égale à l’énergie, soit la somme de l’énergie potentielle V et de ‘ 2 l’énergie cinétique T. Dans le cas de la mécanique quantique, l’opérateur ~ agit comme la quantité d’énergie cinétique et V(x) comme l’énergie potentielle. La différence principale réside 48 dans le fait que H class est un scalaire et H quant est un opérateur agissant sur une fonction d’onde. Cet opérateur quantique H quant est, lui aussi, lié à l’énergie à partir de l’équation aux valeurs propres suivante: Hw = Ew. Cette équation est connue sous le nom d’équation de Schrodinger. L’application de l’hamiltonien sur la fonction d ‘onde renvoit la fonction d’onde multipliée par l’énergie du système. Le lecteur attentif remarquera le lien évident entre l’équation de Schrodinger et le problème de Sturm-Liouville avec conditions aux frontières. En une dimension et dans la base spatiale, l’équation de Schrodinger indépendante du temps prend la forme [ (ï2 fP ] 2m 8×2 + V(x) w(x) = Ew(x). En effectuant la substitution x’ = vArnx on retombe sur le problème de Sturm-Liouville avec q = -v(x),p = 1, À = E et w(x) = 1. Les conditions frontière sur la fonction d ‘onde dépendent du problème. Cependant, le problème implique souvent que l’équation d’onde s’annule quelque part ou qu’elle possède une certaine valeur et dérivée par souci de continuité avec une autre solution. Il est possible d’interpréter l’amplitude au carré de la fonction d’onde w(x)w(x)* (W( x)2 lorsque la solution est prise réelle) par la densité de probabilité de présence de la part icule. Pour l’équation de Schrodinger les puissances <I>-généralisées deviennent des puissances w~-généralisées, où Wo est la solution de l’équation lorsque E = 0 et s’écrivent comme n impair (3.39) n pair et (3.40) Par simplicité, nous noterons <I> = w~ pour la suite de ce travail. Afin de donner un exemple concret à ces définitions, un problème simple sera présenté soit le cas du puits de potentiel carré infini, aussi appelé le cas de la particule dans une boîte.