Filtrage spatial par lifting adaptatif

Nous présentons dans ce chapitre des décompositions en ondelettes adaptatives et non-linéaires capables d’appréhender la nature géométrique et directionnelle des images. Ces transformées sont basées sur des structures lifting où l’opérateur de mise à jour est modifié à chaque échantillon, selon une décision prise en fonction d’un gradient local cal- culé sur le signal d’entrée. Les décisions ne sont pas transmises dans le flux compressé et nous nous intéressons tout particulièrement à la détermination des conditions nécessaires et suffisantes pour que ces décisions soient reconstruites lors de la synthèse, permettant ainsi la reconstruction parfaite du signal original.Après avoir brièvement introduit notre problématique, nous rappelons en section 6.1les travaux de Piella, Heijmans et Pesquet-Popescu [59, 113] sur lesquels sont basés nos décompositions. Les auteurs décrivent une structure lifting où l’opérateur de mise à jour est modifié à chaque échantillon en fonction d’une décision binaire prise sur le signal d’en- trée. Ces décisions sont prises par seuillage d’une seminorme calculée sur le gradient du signal d’entrée, conduisant ainsi à choisir entre deux filtres de mise à jour. N’étant pas transmises dans le flux compressé, ces décisions doivent être reconstruites lors de la synthèse pour permettre la reconstruction parfaite du signal. Les auteurs montrent alors l’existence de conditions nécessaires et suffisantes liant la prise de décision et les filtres de mise à jour, et permettant cette reconstruction parfaite. Bien que très attractif, cette trans- formée adaptative n’est cependant pas suffisamment flexible car elle n’autorise qu’un critère de décision binaire. Dans un contexte géométrique 2D, il ne peut ainsi servir qu’à discriminer deux évènements géométriques comme un contour et une région homogène. Afin de pouvoir tenir compte de la richesse et de la variété des images, il est souhai- table de pouvoir utiliser plusieurs critères, laissant ainsi un choix multiple entre plu- sieurs filtres de mise à jour. Nous proposons ainsi d’étendre le schéma de décomposi- tion adaptatif de Piella à des critères de décisions multivaluées. Dans un premier temps, nous étudions en section 6.2 le cas d’une décision prise par comparaison de deux semi- normes. Nous établissons alors les conditions nécessaires et suffisantes sur ce type de décision permettant d’assurer la reconstruction parfaite du signal.

Nous étendons alors nos conclusions en section 6.3 sur la comparaison de N seminormes et poursuivons en section 6.4 avec un critère basé sur la comparaison de deux seminormes combinée auainsi de construire des transformées inversibles, adaptatives et capables de discriminer plusieurs évènements géométriques 2D : contours horizontaux, verticaux, régions homo- gènes… Nous présentons alors en section 6.5 plusieurs expérimentations de compression d’image sans perte, basées sur des transformées adaptatives utilisant différents critères de décision. Les travaux présentés dans ce chapitre ont fait l’objet de la publication d’un article de conférence [112] et d’un article de revue [114].

Mise à jour adaptative avec critère de seuil binaire

En dépit de son efficacité de décorrélation et de sa polyvalence, la transformée en onde- lettes est toutefois limitée par sa linéarité. Ainsi, lors de l’analyse multirésolution d’une image, l’approximation par des opérateurs linéaires peut causer le floutage de certaines zones d’intérêt comme les contours ou certaines singularités, entraînant alors la perte d’informations importantes. De plus, la transformation en ondelettes séparable n’est pas bien adaptée à la géométrie des images. En supposant l’exemple d’une image consti- tuée de régions lisses et séparées par des courbes régulières par morceaux, on constate que les ondelettes séparables ne “voient” pas la régularité présente le long de la courbe. Ces observations nous poussent ainsi à rechercher des représentations qui s’adaptent mieux aux données. On trouvera alors dans la littérature de nombreuses décomposi- tions [29, 40, 42, 41, 47, 51, 58, 72, 148], fournissant chacune un degré divers d’adapta- bilité.Nous rappelons dans cette section les travaux de Piella, Heijmans et Pesquet-Popescu [59, 113] décrivant une transformée en ondelettes adaptative, inversible et basée sur une étape de mise à jour adaptative. Les décisions binaires utilisées dans ce schéma pro- viennent d’un critère de seuil (Threshold Criterion), noté TC et obtenu par seuillage d’une seminorme calculée sur le gradient du signal d’entrée.