Formulation mathématique du problème

Position du problème et choix du référentiel

Considérons une hémisphère creuse de centre O et de rayon R remplie d’eau. La paroi du bassin est recouverte d’une matière lisse, isotherme et imperméable de telle sorte que les transferts d’eau par infiltration soient inexistantes .A partir d’un certain instant t0, la surface libre du bassin est parcourue par un courant d’air chaud qui entraîne le mouvement et l’échauffement de l’eau dans le bassin. La géométrie du problème nous conduit à utiliser : -Dans l’air, le système de coordonnées cartésiennes avec x (la coordonnée horizontale longitudinale suivant laquelle s’effectue le mouvement), y la coordonnée verticale et z la coordonnée horizontale transversale comptées toutes à partir du centre du bassin. -Dans l’eau, le système de coordonnées sphériques avec r la coordonnée radiale comptée à partir du centre bassin, θ la coordonnée ortho radiale et ϕ la coordonnée azimutale. Fig. 1 : Représentations schématiques du modèle physique et du système de coordonnées .

 Equations générales des transferts

D’après les lois fondamentales de la mécanique des milieux déformables, les équations générales des transferts s’écrivent :

Equations de transferts dans la couche limite

– Equation de continuité Div( V ) t a a ρ ρ + ∂ ∂ = 0 ( Ι-1) – Equation du mouvement t V ∂ ∂ + ( V grad )V = ρ a 1 − grad p +υa ∆ V + g (Ι-2) – Equation de la chaleur t T ∂ ∂ + ( V grad ) T = α a ΔT (Ι-3) – Equation de la masse t C ∂ ∂ + ( V grad ) C = DaΔC (Ι-4) Ι-2-2 Equations générales des transferts dans l’eau : -Equation de continuité : Div( V ) t e e ρ ρ + ∂ ∂ =0 (Ι-5) – Equation du mouvement sous forme de variables primitives : t V ∂ ∂ + ( V grad )V = ρ e 1 − grad p + υe ∆ V + g (Ι-6) L’équation du mouvement sous forme des variables primitives étant fortement non- linéaire, difficile à résoudre du point de vue calcul numérique, nous faisons appel à la notion de vorticité qui nous permet d’obtenir une équation quasi-linéaire plus malléable numériquement. Pour compléter le système, on introduit l’équation de la fonction de courant. Mémoire de DEA présenté par Pierre FAYE LHMF – FST/ UCAD (Sénégal) 2007 8 Mémoire de DEA présenté par Pierre FAYE LHMF – FST/ UCAD (Sénégal) 2007 – Equation du mouvement sous forme de vorticité : ∂t ∂ω + ( V grad )ω = υe ∆ ω (Ι-7) – Equation de la chaleur : t Te ∂ ∂ + ( V grad ) Te = α eΔTe (Ι-8) ω = rotV V rotV =   Afin de simplifier les équations qui régissent les phénomènes de transferts, nous posons les hypothèses suivantes :

Hypothèses simplificatrices

Dans l’air 

Nous adoptons les hypothèses des couches limites laminaires hydrodynamique et thermique dans l’air.  L’air est un mélange d’air sec et de vapeur d’eau assimilés à des gaz parfaits.  La vitesse, la température et la concentration de la vapeur dans l’air à l’entrée du bassin sont constantes.  Les propriétés physiques du mélange sont constantes.  L’écoulement de l’air au dessus du bassin s’effectue seulement suivant (ox).  Les effets radiatifs peuvent y être négligés. Ι-3-2 Dans l’eau :  Les transferts sont bidimensionnels.  Les propriétés thermodynamiques de l’eau sont constantes.  L’eau est macroscopiquement homogène et n’est le siège d’aucune réaction chimique.  Le transfert de masse ne s’effectue qu’à la surface.