Les aspects multiéchelles en temps

Mise en place de l’approche multiéchelle

Introduction d’une discrétisation de l’interface On note [0,T ]S la discrétisation en temps utilisée pour les quantités solides et [0,T]F celle utilisée pour les quantités fluides. Durant l’étape linéaire, les deux physiques sont Mise en place de l’approche multiéchelle 79 découplées : on utilise [0,T ]S lorsqu’il s’agit de discrétiser en temps le problème solide et [0,T ]F lorsqu’il s’agit du problème fluide. Partie fluide Interface Partie solide t t t Figure 4.2 • Discrétisations des parties solide et fluide et de l’interface On introduit maintenant une troisième discrétisation [0,T ]I , qui sera supposée être celle de l’interface entre les physiques (cf. Figure 4.2). Les champs discrétisés sur les différents maillages seront notés respectivement (·)S, (·)F et (·)I . On suppose avoir à notre disposition des opérateurs permettant le transfert des champs d’une discrétisation en temps à une autre : PIS : [0,T ]S → [0,T ]I PSI : [0,T ]I → [0,T ]S PIF : [0,T ]F → [0,T ]I PF I : [0,T ]I → [0,T ]F de telle sorte que le champ de contraintes ffS, exprimé sur [0,T ]S, peut être transféré en ffI , exprimé sur [0,T ]I , par la relation : ffI = PISffS. Les relations de comportement (1.3) étant considérées comme des propriétés de l’interface entre les physiques, elles doivent être vérifiées sur [0,T ]I : ffˆ I = D »ˆI − bpˆII, qˆI = 1 Q pˆ˙I + b Tr »ˆ˙I et Wˆ I = HZˆ I La direction de recherche E + (2.1), réécrite sur l’interface, devient : ( ˆffI −PISffSn)+L(« ˆ˙I −PIS »˙Sn) = 0 (qˆI −PIF qF n)+ r(pˆI −PIF pF n) = 0 (Wˆ I −PIFWF n)+H(Zˆ I −PIFZF n) = 0 (4.1) L’étape locale (2.2) est donc transformée en : L »ˆ˙I +D »ˆI − bpˆII = PISASn 1 Q pˆ˙I + rpˆI + b Tr »ˆ˙I = PIFαF n 2HZˆ I = PISβ F n (4.2)

Les aspects multiéchelles en temps dans lequel les seconds membres proviennent de l’étape linéaire précédente et sont donc exprimés sur les discrétisations solide et fluide : ASn = ffSn +L »˙Sn, αF n = qF n + r pF n et β F n = WF n +HZF n Une fois que ces quantités ont été transférées sur l’interface, l’étape locale (4.2) est similaire à celle du cas monoéchelle (2.2) et permet de construire « ˆ˙I , pˆI et Zˆ I . Les quantités duales ˆffI , qˆI et Wˆ I sont ensuite calculées en utilisant la direction de recherche (4.1). Finalement, les différents champs sont renvoyés sur leurs discrétisations respectives pour poursuivre par une nouvelle étape linéaire. Il est clair que la difficulté majeure de cette étape est la construction des opérateurs de transfert entre les différentes discrétisations. Dans la section suivante, nous allons proposer une stratégie de passage entre deux grilles temporelles. 

Description des variables aux échelles micro et macro

La méthode que nous allons présenter est une adaptation au cas temporel de la stratégie micro-macro initialement proposée dans [Lad99b, Lad01b] pour résoudre les problèmes multiéchelles en espace. Elle consiste à séparer additivement les inconnues s en une partie s M, dite macro, et un complément s m, qualifié de micro : s = s M +s m Dans tout ce chapitre, les notations (·) M et (·) m désigneront respectivement les échelles macro et micro en temps. Soit F[0,T ] l’espace des fonctions définies sur [0,T ], muni du produit scalaire 〈·,·〉 : 〈·,·〉: (F [0,T ] ) 2 −→ R (f , g )7−→ 〈f , g 〉 = Z [0,T ] f g d t Soit F [0,T ] M un sous-espace de dimension finie de F[0,T ] , donné a priori. La partie macro d’une fonction f de F[0,T ] est définie comme sa projection orthogonale au sens de 〈·,·〉 sur l’espace macro F [0,T ] m au moyen d’un projecteur π : f M = πf Mise en place de l’approche multiéchelle 81 Le complément micro est alors simplement calculé comme la différence entre la fonction f et sa partie macro : f m = f − f M = (id−π)f où id désigne l’application identité sur F[0,T ] . Le sous-espace correspondant à f m est noté F [0,T ] m . La partie macro f M d’une fonction f de F[0,T ] est donc définie par : ∀g M ∈F [0,T ] M , 〈f , g M〉 = 〈f M, g M〉 Notons qu’avec ce choix, il y a séparation des « énergies » entre les échelles macro et micro : ∀(f , g )∈(F [0,T ] ) 2 , 〈f , g 〉 = 〈f M, g M〉 + 〈f m, g m〉

Si l’on suppose que le sous-espace F [0,T ] M est de dimension nM +1 et que e M en est une base orthonormée : e M = ½ e M k ¾nM k=0 le projecteur π peut être explicité par : f M = πf = XnM k=0 〈f , e M k 〉e M k (4.3) Notons que cette décomposition micro-macro est réalisée au niveau continu et ne suppose pas de discrétisation. Introduisons une partition de l’intervalle [0,T ] en nM sous-intervalles Ik : [0,T ]M = n Ik = [Tk−1,Tk ] onM k=1 avec 0 = T0 < T1 < ··· < TnM = T . Dans la suite, F [0,T ] M sera défini comme le sous-espace des fonctions continues, affines sur chaque Ik . Une base orthonormée e M peut aisément être construite en appliquant une procédure du Schmidt sur la base usuelle de F [0,T ] M . La Figure 4.3 représente alors un exemple de fonction f et de sa partie macro. Remarque 1 • Contrairement à une approche hiérarchique, les valeurs f M(Tk ) et f (Tk ) ne sont pas forcément égales. Remarque 2 • Dans cet exemple, F [0,T ] M est un sous-espace de fonctions continues, le projecteur est donc global sur l’ensemble de l’échelle de temps macro. Ceci n’est pas l’unique choix possible, comme on le verra par la suite.