Généralités en théorie de Hodge

L’objectif de cette section est d’introduire les notions de théorie de Hodge qui nous seront utiles dans la suite, à savoir les notions de structures de Hodge et de variations de structure de Hodge. Nous verrons également à quelles conditions un système local sur la droite affine privée d’un nombre fini de points est induit par une variation de structure de Hodge polarisable.Néanmoins, cette description des structures de Hodge ne se comporte pas bien lorsque l’on considère des familles holomorphes. En particulier, la graduation ne se déforme pas holomorphiquement, mais seulement de manière C. Pour remédier à cela, on remplace la graduation par deux filtrations décroissantes, l’une variant holomorphiquement et l’autre anti-holomorphiquement. Posons alors les deux définitions suivantes :est h-orthogonale. En particulier, h induit une forme hermitienne définie positive sur chaque HUne structure de Hodge munie d’une polarisation est dite polarisée (ou polarisable si l’on ne souhaite pas faire un choix de polarisation).Preuve. Montrons que ces deux définitions sont bien équivalentes. Une polarisation au sens de (ii) est une polarisation au sens de (i) car (2) implique que la décomposition H =est Q-orthogonale, et donc h-orthogonale d’après (3). Pour voir qu’une polarisation au sens de (i) est une polarisation au sens de (ii), il suffit de poser Q(x, y) = h(C.

Commençons par préciser que H ⊗ H et C(−w) sont tous deux munis d’une structure de Hodge de poids 2w, d’après les exemples 1), 2), 3) et 6) vus précédemment. On a alors la suite d’équivalences (−w)) et la condition (ii)(1) est équivalente à dire que Q. En d’autres termes, il y a de la redondance dans la définition d’une structure de Hodge polarisée. Cela nous amène à donner la définition équivalente suivante :La définition d’une variation de structure de Hodge est motivée par l’étude du comportement de la cohomologie d’une famille de variétés projectives lisses paramétrisée par une variété algébrique lisse. On suppose que X est une variété complexe connexe, commençons par donner la définition suivante :vérifie par transversalité de Griffiths la propriété D. On a des propriétés tout à fait analogues avec le pendant anti-holomorphe. Vient alors la définition-proposition suivante :Définition-proposition 5.2.2 Une variation de structure de Hodge de poids w ∈ Z consiste en la donnée d’un fibré C) une filtration en sous-fibrés holomorphes satisfaisant la transversalité de Griffiths, et d’une filtration F) une filtration en sous-fibrés anti-holomorphes satisfaisant l’anti-transversalité de Griffiths, et telle que la restriction de ces données à x ∈ X est une structure de Hodge de poids w.

La seule chose qui reste à voir pour démontrer l’équivalence des deux définitions est que les données de la définition 5.2.2 sont suffisantes. On pose H H qui satisfait bien latransversalité de Griffiths. En outre, il s’agit bien d’un sous-fibré car sa fibre en x ∈ X est de dimension constante. En reprenant l’analogie avec les structures de Hodge, on définit maintenant les morphismes de variations de structure de Hodge, ainsi que la notion de polarisation.horizontal par rapport aux connexions, et compatible à la décomposition, ou de manière équivalente compatible aux deux filtrations (holomorphe et anti-holomorphe).(−w), dont la restriction à tout x ∈ X est une polarisation de la structure de Hodge H. Une variation de structure de Hodge munie d’une polarisation est dite polarisée (ou polarisable si l’on ne souhaite pas faire un choix de polarisation).Q) est une variation de structure de Hodge de poids 0. On peut donc supposer sans perte de généralité quele poids est 0, d’autant plus lorsque l’on considère des variations de structure de Hodge polarisables, oùle choix de la polarisation nous importe peu.