Introduction à la logique floue

Historique de la logique floue

Depuis longtemps l’homme cherche à maîtriser les incertitudes et les imperfections inhérentes à sa nature. La première réelle manifestation de la volonté de formaliser la prise en compte des connaissances incertaines fut le développement de la théorie des probabilités à partir du XVII siècle. Mais les probabilités ne peuvent maîtriser les incertitudes psychologiques et linguistiques. On a donc assisté aux développements des théories de probabilité subjective (dans les années 50) puis de l’évidence (dans les années 60) [11]. Puis la Logique Floue est apparue en 1965 à Berkeley dans le laboratoire de Lotfi Zadeh avec la théorie des sous-ensembles flous puis en 1978 avec la théorie des possibilités. Ces deux théories constituent aujourd’hui ce que l’on appelle Logique Floue [12] La Logique Floue permet la formalisation des imprécisions dues à une connaissance globale d’un système très complexe et l’expression du comportement d’un système par des mots. Elle permet donc la standardisation de la description d’un système et du traitement de données aussi bien numériques qu’exprimées symboliquement par des qualifications linguistiques [10]. III.3. Logique floue vs logique classique Dans la logique classique, les variables gérées sont Booléennes. C’est à dire qu’elles ne prennent que deux valeurs 0 ou 1. La logique floue a pour but de raisonner à partir de connaissances imparfaites qui opposent résistance à la logique classique. Pour cela la logique floue se propose de remplacer les variables booléennes par des variables flous.

Théorie de la logique floue

Les sous-ensembles flous

La logique floue repose sur la théorie des ensembles flous, qui sont une généralisation de la théorie des ensembles classiques. Par abus de langage, suivant les us de la littérature, nous utiliserons indifféremment les termes sous-ensembles flous et ensembles flous. Les ensembles classiques sont également appelés ensembles nets, par opposition à flou, et de même la logique classique est également appelée logique booléenne ou binaire

Les opérations de base sur les sous-ensembles flous

La théorie mathématique sur les sous-ensembles flous définit de nombreuses opérations sur ces sous-ensembles et sur les fonctions d’appartenances qui rendent ces notions utilisables. Nous ne présentons ici que les opérations de base de cette théorie [12]. Si A et B sont deux sous-ensembles flous et µ (A) et µ(B) leur fonction d’appartenance. Ces définitions sont celles qui sont les plus communément utilisées mais parfois, pour certains cas, d’autres sont plus appropriées. Par exemple, l’intersection peut être définie par le produit des fonctions d’appartenance et l’union par la moyenne arithmétique des fonctions d’appartenance. Ces différentes techniques de calcul engendrent une énorme capacité d’adaptation des raisonnements flous.

Les variables linguistiques

 Le concept des variables linguistiques joue un rôle important dans le domaine de la logique floue. Une variable linguistique comme son nom le suggère, est une variable définie à base de mots ou des phrases au lieu des nombres. En effet, la description d’une certaine situation, d’un phénomène ou d’un procédé contient en général des expressions floues comme ″quelque, beaucoup, souvent, chaud, froid, rapide, lent, grand, petit …etc.″. Ce genre d’expressions forme ce qu’on appelle des variables linguistiques de la logique floue.

Les étapes de la logique floue

Fuzzification 

définition des fonctions d’appartenance Un ensemble flou est défini par sa fonction d’appartenance qui correspond à la notion de fonction caractéristique en logique classique, elle permet de mesurer le degré d’appartenance d’un élément à l’ensemble flou. En toute généralité, une fonction d’appartenance d’un ensemble flou est désignée par 𝜇𝐴 (𝑥). L’argument 𝑥 se rapporte à la variable caractérisée, alors que l’indice 𝐴 indique l’ensemble concerné.

Variable linguistique 

Le concept de fonction d’appartenance vu précédemment nous permettra de définir des systèmes flous en langage naturel, la fonction d’appartenance faisant le lien entre logique floue et variable linguistique . cela est déjà expliquer précédemment. III.6. Les règles floues A. Inférence floue Les règles floues permettent de déduire des connaissances concernant l’état du système en fonction des qualifications linguistiques fournies par l’étape de fuzzification. Ces connaissances sont également des qualifications linguistiques .Habituellement, les règles floues sont déduites des expériences acquises par les opérateurs ou les experts. Ces connaissances sont traduites en règles simples pouvant être utilisées dans un processus d’inférence floue. Par exemple, si un expert exprime la règle «si la température de l’eau est chaude, il faut ajouter de l’eau froide», le système utilisera une règle du genre «si p alors q » . 

Traitement numérique de l’inférence 

Lors du réglage par logique floue, on a fourni une valeur de commande pour un ensemble de variables physiques d’entrée .Par exemple pour la règle : Si l’on considère que est de degré d’appartenance de et est celui de et en combinant ces deux valeurs, on obtient la valeur à affecter à l’ensemble flou de sortie. Il existe plusieurs possibilités pour réaliser les opérateurs qui combinent les valeurs d’entrée et les valeurs de sortie, C’est ce qu’on appelle la méthode d’inférence .les méthodes les plus utilisées sont :  Méthode d’inférence MAX-MIN.  Méthode d’inférence MAX-PROD.  Méthode d’inférence SOMME-PROD. La méthode qu’on va utiliser est la méthode d’inférence MAX-MIN. C. Méthode d’inférence Max-Min Cette méthode réalise l’opérateur « ET » par la fonction « Min », la conclusion « ALORS » de chaque règle par la fonction « Min » et la liaison entre toutes les règles (opérateur « OU») par la fonction Max.. La dénomination de cette méthode, dite Max-Min ou « implication de Mamdani », est due à la façon de réaliser les opérateurs ALORS et OU de l’inférence.