Introduction aux concepts généraux de la géostatistique

Introduction aux concepts généraux de la géostatistique

Notion de régionalisation : De la méthode choisie pour résoudre le problème d’estimation, dépendra la nature de l’objet mathématique : en statistique classique on traite de variables aléatoires tandis qu’en géostatistique on traite des régionalisations (variables régionalisées). Le phénomène régionalisé (stock de poulpes) est décrit par une régionalisation (densité de poulpes) qu’on représente par une fonction numérique z(x), exprimée en fonction de la position géographique x. A l’image du phénomène qu’elle décrit, elle peut être une fonction fort irrégulière présentant deux aspects contradictoires, un aspect erratique dans la mesure où ses variations sont localement imprévisibles et un aspect structuré, reflétant une structure globale sous-jacente du phénomène qu’elle est censé représenter (Matheron, 1970). Les valeurs numériques de la régionalisation, les densités assorties de leurs coordonnées géographiques, ne sont connues que pour quelques prélèvements. Ceux-ci permettront néanmoins de définir la structure spatiale et l’aire de distribution qu’on désigne en géostatistique par le champ de la régionalisation.

Notion de fonction aléatoire : La régionalisation qu’on traite ici est donc la densité de poulpes. On lui accorde deux statuts différents selon la technique géostatistique utilisée : celui d’une fonction déterministe en transitif qui traite directement la régionalisation, ou celui d’une fonction aléatoire en géostatistique intrinsèque qui donne à la variable régionalisée une dimension probabiliste. Cette introduction délibérée de l’espace des probabilités fait que la variable régionalisée z(x) est interprétée comme une réalisation d’une fonction aléatoire Z. Par convention, la majuscule désigne une variable aléatoire ou une fonction aléatoire et la minuscule désigne une variable régionalisée déterministe.
La fonction aléatoire (FA) est constituée d’un ensemble de variables aléatoires Z(x) distribuées dans l’espace géographique et issues d’une «probabilisation» conventionnelle de chacun des éléments de la régionalisation z(x) pour donner des variables aléatoires Z(x) reliées entre elles par des corrélations qui sont à l’origine de la structure spatiale du phénomène régionalisé.

Remarques sur la dimension probabiliste de l’approche intrinsèque

On pourrait s’interroger sur la pertinence d’interpréter un phénomène unique (l’état du stock de poulpes à un moment donné) comme une réalisation d’un phénomène aléatoire modélisé par une FA. Mesurer une abondance de poisson et la doter d’une probabilité est certes utile pour le gestionnaire qui accorderait au résultat d’autant plus de confiance que sa probabilité est grande mais il n’en reste pas moins que cette démarche n’est pas des plus évidentes. L’emploi des probabilités se justifie habituellement lorsqu’il est possible de répéter l’expérience (tirage) un certain nombre de fois. Mais quel sens donner à la probabilité d’un tirage unique qui ne peut être reproduit et par conséquent, ne peut être ni vérifié ni falsifié ?

De ces questions qui ont fait l’objet d’un essai de Matheron (1978), on retiendra que le recours aux probabilités se justifie comme moyen intermédiaire calculatoire et conventionnel puissant mettant à disposition les outils mathématiques de la théorie des probabilités. Certains principes directeurs doivent être toutefois respectés comme celui de la reconstruction opératoire qui consiste à reformuler les résultats issus d’un modèle probabiliste en termes objectifs et concrets en accord avec la réalité physique.

Matheron définit l’objectivité d’un résultat, d’un concept ou d’un paramètre par leur capacité à être formulés en termes de régionales. Celles-ci sont par définition des grandeurs dont on aurait la valeur si on connaissait la réalité de manière exhaustive. La moyenne ou l’abondance totale sont des régionales, donc des concepts objectifs. L’objectivité qui est en question ici est dite interne, en opposition à l’objectivité externe qui signifie que malgré le caractère unique des phénomènes régionalisés, ils peuvent appartenir à des classes de phénomènes ayant des similarités statistiques et spatiales pour faire l’objet d’une méthodologie spécifique (Matheron, 1978). Finalement, la stationnarité constitue une condition clé de l’utilisation opérationnelle du modèle intrinsèque, car elle permet de s’affranchir de la répétition temporelle grâce à la répétition spatiale. C’est un exemple de concept non objectif car en dépit d’une connaissance intégrale de la variable z(x), la stationnarité dépendra également du domaine et de l’échelle d’observation. Néanmoins, comme c’est une hypothèse de validité d’une «manipulation» calculatoire intermédiaire et conventionnelle, son objectivité n’est pas indispensable du moment qu’elle est décidée en cohérence avec les observations empiriques.

Analyse variographique des densités de poulpes

Considérations générales : L’analyse variographique consiste à estimer la structure spatiale expérimentale puis à l’ajuster pour définir un modèle théorique. L’objet de ce chapitre est de décrire les conditions techniques de calcul des structures expérimentales qui, pour certaines, sont communes aux cadres de la géostatistique transitive et de la géostatistique intrinsèque.

Système de projection : Les structures spatiales expérimentales (variogramme, covariance et covariogramme) sont des fonctions des distances séparant les couples d’observations expérimentales possibles. Leurs positions sont mesurées en coordonnées géographiques du système géodésique MERCHICH. Les distances séparant les paires de points ne peuvent être calculées en unités géographiques car elles ne représenteraient pas, selon la latitude des points, la même distance réelle, symbolisée par l’arc formé par les deux points à la surface de la mer. Rappelons que la distance d’un degré de longitude est variable selon la latitude, allant en décroissant de l’équateur, où elle est égale à un degré de latitude (60 milles nautique), jusqu’au pôle Nord ou le pôle Sud où elle s’annule. Pour tenir compte de cette distorsion des distances il faut projeter les points avant de procéder au calcul des distances. Pour cela, nous avons adopté le système de projection le plus simple qui assimile la terre à une sphère et qui consiste à multiplier les longitudes par un facteur correctif égal au cosinus de la latitude du point. Ce système de projection minimaliste est suffisant dans la mesure où le domaine d’étude est suffisamment petit et que les corrections induites ne sont pas très importantes.

Tolérances de calcul : Les structures spatiales expérimentales, qui constituent des séries de valeurs discrètes et non des fonctions continues, sont généralement estimées avec des tolérances de calcul. Prenons l’exemple du variogramme sachant qu’on peut généraliser ce qui suit aux autres structures spatiales.

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Les modèles de variogramme et de covariogramme théoriques

Importance du modèle théorique : Le modèle théorique de la structure spatiale est obtenu par un ajustement de la structure expérimentale préalablement estimée. Le rôle méthodologique du modèle théorique apparaît de manière évidente lorsqu’on formule les variances d’estimation de l’estimation globale transitive ou intrinsèque. D’un point de vue pratique, l’intérêt du passage d’une structure expérimentale au modèle théorique réside dans le fait qu’il n’est pas possible d’utiliser directement la structure expérimentale car étant une version discrète calculée par tranches de distances, elle ne comprend pas toute l’information relative à la structure spatiale de la régionalisation nécessaire au calcul de la variance d’estimation. Par ailleurs, lorsqu’on a présenté les propriétés des outils structuraux, on a vu que pour satisfaire la positivité de la variance de toute combinaison linéaire autorisée, le variogramme doit être une fonction de type négatif conditionnel et le covariogramme doit être une fonction de type positif. On a donc tout intérêt à choisir un modèle parmi ceux dont on sait être de ces types là et que l’on ajuste au plus prés de la structure expérimentale.

L’ajustement du modèle théorique n’est pas une opération automatique. La pertinence du modèle est généralement le fruit d’une bonne traduction des caractéristiques spatiales de la régionalisation en propriétés analytiques que le modèle a à décrire, en particulier au voisinage de son origine. Cette transposition des caractéristiques spatiales du phénomène physique en propriétés analytiques requiert une bonne connaissance du phénomène étudié. Par exemple, plus la régionalisation est continue et régulière, plus la fonction du modèle spatial est continue à l’origine. Alors qu’une température de surface généralement très continue dans l’espace serait modélisable par une fonction parabolique à l’origine, une densité de poissons organisés en bancs irrégulièrement répartis dans l’espace le serait par une fonction qui présenterait une discontinuité à l’origine (effet de pépite) et d’une structure soit sphérique soit linéaire , selon que l’on observe ou non un palier.

Table des matières

Introduction générale 
1. Données, modèles et analyses préliminaires
1.1. Introduction
1.2. Les campagnes d’évaluation du poulpe
1.2.1. Objectifs
1.2.2. L’espèce cible : le poulpe
1.2.2.1. Biologie
1.2.2.2. Phases sensibles
1.2.2.3. Facteurs environnementaux de variabilité
1.2.3. Déroulement des campagnes
1.2.3.1. Zone de prospection
1.2.3.2. Période
1.2.3.3. Navires et engin de pêche
1.2.3.4. Opération de chalutage
1.2.3.5. Définition de la densité
1.2.4. Stratégies d’échantillonnage
1.2.4.1. Principes généraux
1.2.4.2. Schéma régulier (SR), 1980-1992
1.2.4.3. Schéma aléatoire stratifié statistique (SASS), 1993-1997
1.2.4.4. Schéma aléatoire stratifiée géostatistique (SASG), 1998-2006
1.3. Concepts théoriques des approches transitive et intrinsèque
1.3.1. Introduction aux concepts généraux de la géostatistique
1.3.2. Le schéma intrinsèque
1.3.2.1. Le modèle stationnaire d’ordre 2
1.3.2.2. Le modèle intrinsèque
1.3.2.3. Les modèles quasi-stationnaire et quasi-intrinsèque
1.3.2.4. Remarques sur la dimension probabiliste de l’approche intrinsèque
1.3.3. La représentation transitive
1.3.3.1. Définition et hypothèses
1.3.3.2. Le covariogramme transitif
1.3.3.3. Le covariogramme géométrique
1.3.4. La covariance non centrée : lien entre le transitif et l’intrinsèque
1.3.5. Le changement de support
1.3.5.1. Formalisme mathématique
1.3.5.2. Effet du changement de support sur les densités de poulpes
1.4. Confrontation des modèles aux données
1.4.1. Peut-on représenter la densité de poulpes par une FA stationnaire ?
1.4.1.1. Calcul de cartes moyennes
1.4.1.2. Les distributions directionnelles
1.4.1.3. Les covariances non centrées
1.4.2. Autres propriétés statistiques et spatiales
1.4.2.1. Distribution dissymétrique
1.4.2.2. Effet proportionnel
1.4.2.3. Hétérogénéité spatiale
1.4.3. Analyse variographique des densités de poulpes
1.4.3.1. Considérations générales
1.4.3.2. Les variogrammes expérimentaux
1.4.3.3. Les covariogrammes expérimentaux
1.4.3.4. Les modèles de variogramme et de covariogramme théoriques
1.4.4. Synthèse
2. Estimations globales géostatistiques du poulpe
2.1. Introduction
2.2. Estimation de la moyenne globale en intrinsèque
2.2.1. Théorie de la variance dans un schéma intrinsèque
2.2.1.1. Les différentes variances du schéma intrinsèque
2.2.1.2. Les formulations particulières de la variance d’estimation
2.2.1.3. Passage à un modèle de FA quasi-intrinsèque avec effet proportionnel
2.2.2. Cas d’applications
2.2.2.1. Schéma SASS
2.2.2.2. Schéma SASG
2.3. Estimation de l’abondance en transitif 
2.3.1. Formalisme théorique des variances d’estimation
2.3.1.1. Schéma régulier (SR)
2.3.1.2. Schéma SASG
2.3.1.3. Schéma aléatoire (SA)
2.3.1.4. Schéma aléatoire préférentiel (SAP)
2.3.2. Application aux campagnes de poulpe
2.3.2.1. Test empirique de la robustesse des estimations transitives en SASG et SR
2.3.2.2. Estimation transitive dans le cadre SAP
2.3.3. Synthèse des résultats
2.4. Conclusions et recommandations
3. Indicateurs, patterns, conflits spatiaux et impacts de la pêcherie poulpière
3.1. Introduction
3.1.1. Problématique
3.1.1.1. Délimitation des stocks
3.1.1.2. Définition du schéma spatial
3.1.1.3. Conflits spatiaux
3.1.2. Méthodologie et données utilisées
3.2. Les outils d’analyse spatiale
3.2.1. Indicateurs spatiaux
3.2.1.1. Introduction
3.2.1.2. Contexte méthodologique
3.2.1.3. Formulation des indicateurs spatiaux
3.2.2. Analyse cartographique
3.2.2.1. Cartographie par krigeage transitif
3.2.2.2. Indice d’accessibilité du stock reproducteur à la pêche
3.3. Résultats
3.3.1. Caractérisation spatiale du cycle de vie du poulpe
3.3.1.1. Identification de la zone d’étude
3.3.1.2. Analyse des tendances d’indicateurs spatiaux
3.3.1.3. Distribution spatiale et variabilité
3.3.2. Impact potentiel sur le stock reproducteur
3.4. Discussion
3.4.1. Hypothèses sur le schéma spatial
3.4.2. Indice d’agrégation, vulnérabilité
3.4.3. Analyse du conflit entre les flottilles industrielle et artisanale
4. Bilan et Perspectives 
4.1. Bilan du suivi et de l’aménagement du poulpe
4.1.1. Les enseignements tirés de l’aménagement
4.1.1.1. Des premières mesures
4.1.1.2. Du premier plan d’aménagement
4.1.1.3. Protection des nourriceries et des frayères
4.1.2. Le suivi scientifique pour déterminer le potentiel
4.1.2.1. Les indices d’abondance
4.1.2.2. Le processus de détermination du quota saisonnier
4.1.2.3. Le modèle de déplétion
4.2. Perspectives
4.2.1. Contexte futur
4.2.2. Généralisation des estimations géostatistiques
4.2.3. Spatialisation du modèle de déplétion
Conclusion générale
Références
Annexe 1 : La pêcherie céphalopodière
Annexe 2 : Calendrier des périodes de repos biologique
Annexe 3 : Carrés statistiques
Annexe 4 : Atlas des propriétés spatiales par campagne

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