Géostatistique non linéaire

Les méthodes géostatistiques dites «non linéaires» telles que le conditionnement uniforme et les simulations conditionnelles, ont été développées non pas dans le but d’estimer une valeur vraie inconnue mais afin de calculer la probabilité avec laquelle cette valeur inconnue est supérieure ou inférieure à un seuil déterminé. Dans ce chapitre, nous présentons le cadre théorique des ces méthodes et leurs applications dans le contexte de notre étude. L’objectif recherché est d’obtenir une cartographie de cette probabilité. La première section est réservée à l’introduction des méthodes de conditionnement uniforme et la simulation conditionnelle. Dans la seconde section, nous présentons les traitements et applications de ces méthodes sur les mesures de la densité de la puissance pour le service GSM 900. Enfin, nous terminons par des discussions et conclusions. Les méthodes de la géostatistique non linéaire exposées dans ce chapitre, supposent que la distribution de fréquences de la variable étudiée peut être modélisée par un modèle gaussien [32]. Il convient de rappeler que la fonction de répartition d’une variable gaussienne centrée réduite Z (moyenne nulle et variance égale à 1) est donnée par l’équation 6.1 :Cette fonction n’a pas d’expression analytique simple. En pratique on se sert soit de tables, soit de formules d’approximation, calculées numériquement [36]. Dans le contexte de notre étude, des mesures in situ de champ électrique ont été réalisée dans un contexte urbain, le plus souvent l’histogramme de ces mesures est asymétrique avec quelques valeurs élevées et il est très rare de rencontrer des distributions parfaitement gaussiennes [58]. Ces valeurs représentent l’exposition dans certains endroits du domaine où l’exposition est plus forte. Par conséquent, il est intéressant de procéder à une transformation de la variable réelle en variable gaussienne. Le processus consiste à déformer l’histogramme de données réelles en un histogramme gaussien réduit ; sur les histogrammes cumulés (fonctions de répartition F(z) et G(y)) elle consiste à associer à chaque valeur de « z », la valeur « y » (gaussienne) correspondant à la même fréquence cumulée.

Polynômes d’Hermite

La fonction ϕ enregistre toutes les irrégularités que peut présenter la distribution expérimentale d’exposition; pour une variable gaussienne, l’anamorphose est linéaire [36]. Les fonctions utilisées en géostatistique pour interpoler l’anamorphose empirique par une fonction continue sont les «polynômes d’Hermite». Ces polynômes sont définis à partir de la densité de probabilité gaussienne réduite [32]: Le principal avantage de ce type de polynômes est que n’importe quelle fonction de carré intégrable peut être développée en polynômes d’Hermite [36], par exemple, pour l’anamorphose gaussienne on obtient : restent constants et ne dépendent pas de l’ordre de troncature. En pratique, on calcule un nombre déterminé de polynômes à partir des valeurs gaussiennes (Y) d’exposition, ensuite on calcule les coefficients de chaque polynôme à l’aide de la formule [36] : également à des valeurs moyennes sur des éléments de surface. Un support ponctuel n’a pas beaucoup de sens car l’exposition peut varier fortement d’un point à un autre, immédiatement voisin. Le problème que nous étudions comporte donc trois supports : le support ponctuel des points de mesure, le support des cellules et un support de bloc.

Le modèle Gaussien discret, va nous servir à aborder un problème à trois supports tel qu’il est représenté schématiquement sur la Figure 6.1, où nous avons des mesures en des points, des valeurs de modèle numérique pour des cellules elles-mêmes partitionnées en des blocs. une variable régionalisée à partir d’un échantillonnage de cette dernière. Cependant, la propriété de lissage induite par le krigeage empêche d’apprécier la variabilité des valeurs inconnues (non mesurées) : ainsi, l’histogramme des valeurs estimées est moins dispersé que celui des valeurs réelles ; le variogramme des valeurs estimées n’est pas non plus représentatif de la réalité. Le but des simulations est de reproduire la variabilité spatiale de la variable régionalisée tout en respectant ses propriétés statistiques (histogramme, variogramme, etc.), chaque simulation est alors considérée comme une réalisation possible de la réalité [41]. De même une simulation conditionnelle est une simulation restituant aux points de mesures les valeurs qui y sont connues. La construction de simulations est particulièrement simple dans le cadre des fonctions aléatoires de loi spatiale multigaussienne, c’est-à-dire telles que toute combinaison linéaire de valeurs suive une distribution gaussienne.