La méthode d’estimation d’erreur locale pour les problèmes de viscoélasticité linéaire

Mise en place de la technique d’extraction

Nous appliquons ici la technique classique d’extraction et détaillons les étapes conduisant à la définition du problème adjoint.

Traitement de la quantité d’intérêt

Le point de départ des techniques d’extraction est de noter la quantité d’intérêt sous une forme globale [Paraschivoiu et al. 1997, Strouboulis et al. 2000b, Stein et al. 2001]. Dans notre cas, on s’intéresse aux quantités locales en espace et en temps qui peuvent se mettre sous la forme : I = Z T 0 Z Ω s · ˜˙eΣ dΩ dt = hhs, ˜˙eΣii  ˜˙eΣ =     ˜˙ǫΣ1 ˜˙ǫΣ2 . ˜˙ǫΣn      (3.1) Le n-vecteur ˜˙eΣ, connu analytiquement donc ne comportant aucune erreur, est appelé fonction d’extraction (ou extracteur). Nous nous intéressons donc uniquement à des quantités d’intérêt qui dépendent linéairement de composantes de s ; le cas des quantités non linéaires, qui aboutit à une approximation de l’extracteur 

Estimation de l’erreur locale

Nous donnons ici le résultat d’estimation de l’erreur sur une quantité d’intérêt I. On note Iex la valeur exacte de la quantité d’intérêt et Ih la valeur donnée par la solution éléments finis (eh, sh).

Résultat fondamental

Ce résultat, démontré dans l’Annexe A, provient de [Ladevèze 2006]. Il s’écrit : Iex − Ih − Ihh = −hhsex − sˆh, B(sˆ˜h) + ˙ eˆ˜ p h ii (3.10) avec Ih = hhsh, ˜˙eΣii Ihh = hh˙eˆh − Λ( ˙sh) − B(sh), sˆ˜h − s˜Σii + hhsˆh − sh, ˙ eˆ˜h − ˙ eˆ˜ p h − B(sˆ˜h)ii Ce dernier terme Ihh, entièrement calculable, peut être vu comme une correction de Ih ; la quantité Ih + Ihh est donc une nouvelle approximation de Iex. L’égalité (3.10) est la base de notre méthode d’estimation de l’erreur locale. Un des ses avantages est qu’elle n’implique pas l’utilisation de propriétés d’orthogonalité et reste donc valable si les maillages des problèmes de référence et adjoint sont différents ; cela est particulièrement appréciable si on souhaite (dé-)raffiner localement le problème adjoint. De plus, cette caractéristique permet à l’égalité (3.10) de rester vraie dans le cas où les solutions approchées (eh, sh, eˆh, sˆh) et (˜eh, s˜h, eˆ˜h, sˆ˜h) proviennent d’une méthode d’approximation autre que la MEF (méthode des volumes finis, méthodes sans maillage, . . .). 

Améliorations de l’encadrement 

Restriction de l’intervalle temporel d’étude Très souvent, la quantité d’intérêt I considérée n’implique la solution du problème de référence que jusqu’à un temps tK < T. Dans ce cas, il est inutile de définir le problème Thèse de doctorat – L. Chamoin – 2007 77 3 La méthode d’estimation d’erreur locale pour les problèmes de viscoélasticité linéaire adjoint sur l’intervalle d’étude complet [0, T], l’intervalle [0, tK] étant suffisant .