Systèmes de numération

Un système de numération est « l’ensemble des méthodes et conventions permettant d’écrire et de nommer tout nombre entier naturel et par extension les autres nombres, ainsi que d’effectuer des calculs sur eux » (Bouvier, George, & Le Lionnais, 2013, p. 638). Margonilas et Wozniak (2012) identifient trois types de numération, la numération écrite, la numération orale et la numération figurée. Mounier (2010) quant à lui développe dans sa thèse les similitudes et différences qui existent entre les deux premières numérations en les nommant « numération chiffrée » et « numération parlée ». Cela présente l’avantage de distinguer ces deux numérations en fonction de leurs caractéristiques propres et non en fonction du moyen de transmission orale ou écrite. Notre numération chiffrée utilise typiquement des chiffres et un système de numération de position, par opposition aux mots et leur syntaxe dans la numération parlée. C’est ce vocabulaire que nous privilégierons, d’autant plus qu’il rejoint celui du PER (2010) qui utilise les termes « écriture chiffrée » et « mot-nombre ». Ces trois numérations seront détaillées dans la suite de ce chapitre, mais auparavant il convient de poser quelques bases communes.

Quel que soit le système de numération choisi, il doit permettre de représenter les mêmes entités mathématiques (par exemple les nombres) et aboutir à des définitions communes (par exemple pour les opérations, la distributivité, la commutativité, etc.). Pour Mounier (2010), chaque système de numération doit posséder des propriétés d’exhaustivité (possibilité de représenter tous les nombres), de non-ambiguïté (une représentation ne désigne qu’un seul nombre) et de non-redondance (il n’existe qu’une seule représentation de chaque nombre) pour ainsi définir une bijection entre l’ensemble des entiers et un langage. La non-redondance étant, selon les systèmes de numérations, la moins évidente à atteindre (septante ou soixantedix). Toujours selon Mounier (2010), tout système de numération fait appel à une décomposition du nombre considéré en une somme de produits d’une échelle de numération di par des coefficients ai. Toujours selon Mounier, l’exhaustivité est alors garantie par d0 = 1 et la non-redondance obtenue si pour tout j : a0d0 + …+ ajdj < dj+1. Tandis que « la non-ambiguïté est le résultat de l’injectivité de la division euclidienne » (Mounier, 2010, p.32). C’est-à-dire que comme deux nombres différents se décomposent par divisions successives de manières forcément différentes, retrouver les valeurs de départ est une opération non ambiguë. Un système de numération se définit par le choix de l’échelle de numération di, ainsi que la possibilité de représenter chaque monôme par son coefficient ai, son ordre di ou la multiplication des deux aidi.

Système de numération parlée

Le système de numération parlée est construit sur les mots de la langue pour représenter les nombres (Mounier, 2010), par exemple : cinq, vingt-trois ou six-cent-quarante-sept. La structure arithmétique sous-jacente à la composition des nombres dans la numération parlée est moins visible qu’en numération chiffrée. Il y est fait alternativement usage des coefficients ai (cinq, trois, six et sept ci-dessus) et des ordres di (cent) ou même des mots qui superposent les deux notions (vingt, quarante). La position relative des mots détermine les opérations mathématiques dans les expressions : multiplicatives lorsque la première valeur est plus petite que la seconde (six-cents = 6 x 100), ou additive dans le cas contraire (vingt-trois = 20 + 3). La base dix n’est pas directement accessible comme l’attestent les nombreuses irrégularités qui parsèment la numération parlée. Une première irrégularité apparaît avec les nombres de 11 à 16 qui se disent onze, douze, treize, quatorze, quinze, seize, laissant présager d’une base 16, puisque 17 (dix-sept) est le premier à faire usage de la concaténation de deux valeurs.

Cette concaténation nous ramène pourtant à la base dix (10+7), tout comme elle aurait pu être utilisée pour les nombres 11 (dix-un), 12 (dix-deux), etc. Une deuxième irrégularité masquant la base décimale apparaît avec les nombres vingt, trente, quarante … , nonante, qui, dans le respect de la base dix, auraient dû être nommés deux-dix, trois-dix, quatre-dix. Sans parler du soixante et du quatre-vingts utilisés en France, qui peuvent être suivi des nombres un à dix-neuf, laissant transparaitre une base vingt, tout comme elle transparait dans le terme même quatre-vingts. Il faut attendre cent pour voir apparaître une certaine régularité, tant par la réutilisation des nombres un à nonante-neuf à sa suite que dans les coefficients le précédant (deux-cents, troiscents, etc.). On ne conclura pourtant pas à la présence d’une base cent. Premièrement, elle ne reposerait pas sur l’unité « mille » qui devrait se dire dix-cents et deuxièmement elle nécessiterait une nouvelle unité pour 10’000 (1002) pourtant absente de la numération parlée. On pourra renchérir sur ces confusions avec l’usage de onze-cents, douze-cents, etc., parfois utilisées dans les dates et qui entrent en conflit de redondance avec la terminologie mille-cent, mille-deux-cents, etc. Il existe des numérations parlées qui respectent mieux le système décimal, comme la numération chinoise dans laquelle il suffit de connaître les mots-nombres de 1 à 10 pour pouvoir compter jusqu’à 99, qui se dit neuf-dix-neuf (Lehning, 2013). En ce qui concerne les grands nombres, il existe dans la numération parlée un système de classe (http://numerationdecimale.free.fr/). Chaque classe regroupe trois unités de numération dont les premières classes sont illustrées dans le tableau ci-dessous.

Transcription des entretiens

Les transcriptions des entretiens se trouvent en annexes. Chaque transcription est séparée en différentes parties qui correspondent aux sections que nous avons présentées dans la section 2.2. Chaque partie comprend un tableau avec trois colonnes. La première sert à numéroter les questions et donne quelques repères temporels dans l’enregistrement (en minutes et seconde). Les questions de l’enseignant se trouvent dans la deuxième colonne tandis que les réponses de l’élève figurent dans la troisième colonne. Seules les parties qui nous paraissaient intéressantes ou pertinentes ont été transcrites. Dans la transcription, le symbole (…) indique une partie non retranscrite (entre autres tout ce qui concerne les encouragements, les remerciements). Lorsque nous parlons d’éléments visibles sur la table (étiquette, résultat de calcul), nous avons ajouté les indications nécessaires entre parenthèses. De plus, afin de faciliter la lecture des transcriptions des entretiens, certaines mesures ont été prises.

Les questions comme les réponses ont été lissées. C’est-à-dire que nous avons enlevé les balbutiements, les répétitions inutiles, les mots comme bin, euh, etc. Nous avons aussi parfois eu recours à des modifications légères de la phrase afin de la rendre plus lisible. Nous avons aussi corrigé des formes verbales incorrectes ou peu claires. Concernant les hésitations, nous les avons transcrites par … lorsqu’il nous semblait utile de les conserver. Dans le cas contraire, nous ne les avons pas transcrites. Nous avons aussi ajouté entre crochets certains mots qui étaient implicites dans le discours. Au vu du sujet, les transcriptions contiennent beaucoup de nombres en numération orale et en numération chiffrée. Les règles de transcriptions habituelles voudraient que tout nombre dit oralement soit retranscrit par sa version en lettre. Toutefois, afin d’alléger la lecture, lorsqu’il n’y avait pas de risque de confusion, nous avons utilisé la numération chiffrée avec la convention suivante : Numération parlée: Les nombres sont soit écrits en toutes lettres, soit en chiffres avec une police italique. Par exemple : deux-millions-trente-mille-deuxcent- quarante ou 2’030’240. Numération chiffrée : Les nombres sont écrits en chiffre avec une police normale. Par exemple : 2’030’240.