Les modèles de programmation mathématique linéaire (PML)

Aperçu historique sur la programmation mathématique L’utilisation du modèle de programmation mathématique par les économistes agricoles remonte aux années 50 et le rôle du professeur Heady de l’Université de l’Etat l’Iowa doit être mentionné. Historiquement, la programmation mathématique a été développée à des fins militaires pendant la deuxième guerre mondiale par Georges Dantzig au sein du projet SCOOP dont l’objectif était de calculer les plans logistiques de l’armée américaine. Ainsi, pour soutenir un tank en Europe, il fallait une certaine quantité de carburant, du personnel, lequel avait besoin de nourriture et de vêtements, le tout requérant des moyens de transport. Des procédures itératives étaient utilisées et Dantzig a eu l’idée d’adjoindre un objectif à maximiser (ou minimiser) pour pouvoir déterminer mathématiquement la solution optimale (Benoit-Cattin et Reyniers, 1996). Depuis, ces modèles de programmation sont utilisés dans de nombreux processus de prise de décision où le décideur doit identifier et quantifier ses limites (contraintes de temps, de travail, d’argent, etc.) et doit spécifier une fonction objectif à maximiser (profit, utilité, bien-être…) ou minimiser (coût, pollution, érosion…). Les premiers modèles intégrés en agriculture ont été construits dans les années 70 par des économistes agricoles soucieux de théories économiques se référant à un objectif d’optimisation au niveau des entreprises et de l’économie en général. Depuis, l’application de cette idée s’est rapidement étendue à d’autres domaines où les aspects technico-économiques sont importants dans les décisions de dépenses ou d’investissements. On peut citer les premières applications de 1975 en matière d’élevage (Charlton et Street, 1975), de 1979 pour le contrôle des prédateurs (Reichelderfer et Bender, 1979), de 1983 pour le contrôle des mauvaises herbes (Marra et Carlson, 1983), de 1984 pour le problème d’érosion (l’ASDA-ARS de Temple (USA), 1984) et de 1988 pour les questions de fertilisation et l’évolution des sols et de pollution des nappes (Wit et al., 1988). Actuellement, la construction de modèles économiques par culture et par type d’élevage est devenue courante dans la plupart des pays et notamment des pays développés (cité par Benoit-Cattin et Reyniers, 1996). Cet essor remarquable des modèles, que ce soit en gestion ou en économie agricole, s’explique par le fait qu’ils permettent de représenter le fonctionnement réel des exploitations en prenant en compte l’ensemble de contraintes, techniques, financières, économiques, politiques, environnementales et de risque. Comme le signal Boussard (1988), ces modèles sont des instruments particulièrement bien adaptés aux problèmes qui se posent dans le secteur agricole, étant donnée la forte interdépendance entre ses diverses activités. Ceci est autant plus facile avec l’extension de ces modèles pour résoudre des problèmes non linéaires, aléatoires, discontinus, dynamiques, de plus en plus complexes, et ceci grâce au développement de l’outil informatique et à la multiplication des algorithmes de résolution.

Structure du modèle de programmation mathématique linéaire

Selon Boussard (1970) « Les modèles de programmation mathématique sont des représentations simplifiées mais quantifiées d’un phénomène réel ». Ils permettent d’obtenir la combinaison optimale entre différentes activités soumises à diverses contraintes et concourant à la réalisation d’un objectif donné. Leurs constructions restent souvent assez difficiles du fait de la complexité du monde réel. La spécificité des modèles de programmation mathématique se manifeste par le fait qu’ils incitent à dépasser le simple stade du constat et à s’intéresser aux dynamiques en jeu, notamment en essayant de rendre compte des ressorts technico-économiques de la diversité socio-économique. Fondamentalement, un modèle de programmation linéaire (PML) se présente sous la forme la plus simple possible qui est la suivante (Boussard, 1987) : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ≥ ≤ = ∑ ∑ 0 ( ) i i k i ki i i i X a X b Max Min F B X Où F représente la fonction objectif à optimiser, Bi le bénéfice ou le coût de chaque activité i (selon qu’on maximise ou on minimise la valeur de la fonction objectif), aki les coefficients techniques correspondant aux besoins en ressources ou en intrants k de l’activité i, bk les disponibilités en ressources k, et Xi une variable dont la valeur est déterminée de manière endogène comme résultat de la résolution mathématique, représentant le niveau optimal d’intensité sous contrainte de chaque activité. Economiquement, l’utilisation d’un tel modèle de programmation permet de visualiser les effets de la variation de certaines données (le prix des denrées, le capital disponible, le prix des produits, le taux d’intérêt, etc.) sur le choix d’activités productives. Sa matrice fournit des solutions déterminées par les contraintes techniques, économiques et politiques compte tenu d’une certaine variation sur les prix et sur les rendements. Ces solutions peuvent être utilisées, suivant des conceptions totalement différentes, soit d’une façon positive en tant qu’outil de simulation et d’aide à la décision soit d’une façon normative pour la recherche d’une solution optimale (Deybe, 1989).

Utilisation et intérêt de la programmation mathématique

Historiquement, la programmation mathématique a été utilisée par les économistes en tant qu’outil de décision purement normatif. Sa propriété essentielle était l’obtention d’une solution optimale et des plans de production meilleurs que ceux qui auraient été adoptés en leur absence. En construisant un modèle du système de production, l’économiste construit une fonction de production multi-produits essentiellement basée sur les références techniques fournies par les ingénieurs, soit à partir de résultats expérimentaux soit à partir de leur connaissance de la réalité, afin de déterminer des plans de production optimaux au niveau de l’entreprise ou du sous-secteur. – 18 – Depuis quelques années, on commence à constater que les résultats obtenus ne sont pas à la hauteur des ambitions. En économie et en gestion, l’outil est de moins en moins utilisé de cette façon car il favorise le caractère normatif « voilà ce qu’il faut faire ». La capacité des modèles n’est toutefois pas mise en cause.