LES STRUCTURES DE DIMENSIION TROIS

 Structures semi-booléennes et Booléennes

Nous allons énumérer ici les structures semi-booléennes et booléennes de dimension 3 sur Rmax plongées dans R 3 ou R 4 par le biais du théor`eme de décomposition du chapitre 1. 30 LES STRUCTURES DE DIMENSIION TROIS Il est clair que deux générateurs x et y d’un demi-modudle sont dans l’une des trois situations suivantes: i) x, y forment une antichaˆıne ce que l’on notera x  y. ii) x, y forment une chaˆıne. iii) x, y forment un cycle de torsion. Les deux premiers cas seront étudiés dans ce chapitre-ci et le dernier dans le chapitre suivant. Si les deux générateurs forment une antichaˆıne, on peut cherhcer toutes les compositions possibles en somme semi-directe avec un troisi`eme z.

Nous allons procéder de la mˆeme mani`ere pour deux générateurs formant une chaˆıne. Nous définissons une matrice A ∈ R m×3 , m = 3 ou 4 qui représente l’application linéaire ϕ(A) : R 3 → R m. Nous dirons que A et B sont équivalentes s’il existe des changgements de base ψ1 de R 3 et ψ2 de R m tels que le diagramme suivant commute. R 3 R m R 3 R m ϕA✲ ❄ ψ1 ❄ ψ2 ✲ϕB Im(A) = Im(ϕA) est un demi-module idempotent engendré par les colonnes de A. Nous supposerons toujours que les colonnes d’une matrice A de tailles m × 3 sont indépendantes. On peut donc représenter un sous-demi-module idempotent de dimension trois de R m par un morphisme ϕ appartenant à Hom (R 3 , R m). Les matrices de changement de base ψi , i = 1, 2 sont constituées du produit d’une matrice diagonale et d’une matrice de permutation. (cf: Théor`eme de l’unicité de la base du chapitre 1). 

Les structures semi-booléennes

Les matrices représentées ci-dessous sont des des représentations des demimodules engendrés par leurs colonnes. S’il y a lieu, on spécifie, à droite de la matrice, les contraintes sur les param`etres. On indique aussi les relations induites entre les colonnes de la matrices, o`u x, y, et z représentent la 1`ere (resp 2e, 32) colonne de A (cf par exemple A6 dont les colonnes sont liées par la relation y ≤ λx ∨ z). Ces relations, qui caractrisent le demi-module MA constituent des obstructions l’existence d’un isomorphisme entre MA et MB lorsqu’elles diffrent de celles associes B.