Les aspects multiéchelles en espace

Mise en place de l’approche multiéchelle

Nous allons présenter deux approches. L’une, très générale, consiste à introduire un maillage de l’interface et se prête particulièrement bien au cas général des problèmes multiphysiques, notamment lorsqu’ils comptent plus de deux physiques en interaction. L’autre, propre au cas du couplage entre seulement deux physiques, consiste à sous-itérer entre les deux par une méthode de point fixe et se rapproche de la technique proposée dans le chapitre 4. Mise en place de l’approche multiéchelle

Introduction d’une discrétisation de l’interface 

Étape locale à l’itération n +1/2

De manière totalement similaire à la stratégie multiéchelle en temps qui a été présentée dans le chapitre 4, on note ΩS le maillage utilisé pour les quantités solides et ΩF celui utilisé pour les quantités fluides. On introduit ΩI , un maillage de l’interface. Durant l’étape linéaire, les deux physiques sont découplées : on utilise ΩS lorsqu’il s’agit de discrétiser le problème solide et ΩF lorsqu’il s’agit du problème fluide. On suppose qu’on a à notre disposition des opérateurs permettant le transfert d’un maillage à un autre : PIS : ΩS → ΩI PSI : ΩI → ΩS PIF : ΩF → ΩI PF I : ΩI → ΩF PSF : ΩF → ΩS PF S : ΩS → ΩF de telle sorte que le champ de contraintes ffS, exprimé sur ΩS, puisse être transféré en ffI , exprimé sur ΩI , par la relation : ffI = PISffS. Dans un premier temps et pour simplifier les expressions, on utilise la même notationP◦◦ pour tous les opérateurs. En toute rigueur, il faudrait préciser ffI = P σ ISffS, « I = P ε IS »S , etc. Les relations de comportement (1.3) étant considérées comme des propriétés de l’interface entre les physiques, elles doivent être vérifiées localement sur ΩI : ffˆI = D »ˆI − bpˆII, qˆI = 1 Q pˆ˙I + beˆI et Wˆ I = HZˆ I où l’on rappelle la notation e = Tr ˙ ». La direction de recherche E + (2.1), réécrite sur l’interface, devient : ( ˆffI −PISffSn)+L(« ˆ˙I −PIS »˙Sn) = 0 (qˆI −PIF qF n)+ r(pˆI −PIF pF n) = 0 (Wˆ I −PIFWF n)+H(Zˆ I −PIFZF n) = 0 (5.1) où l’on a noté de la même façon tous les opérateurs de transfert. L’étape locale (2.2) est donc transformée en : L »ˆ˙I +D »ˆI − bpˆII = PISASn 1 Q pˆ˙I + rpˆI + beˆI = PIFαF n 2HZˆ I = PIFβ F n (5.2) 104 Les aspects multiéchelles en espace dans lequel les seconds membres proviennent de l’étape linéaire n précédente et sont donc exprimés sur les discrétisations solide et fluide : ASn = ffSn +L »˙Sn, αF n = qF n + r pF n et β F n = WF n +HZF n

Une fois que ces quantités ont été transférées sur l’interface, l’étape locale (5.2) est similaire à celle du cas monoéchelle (2.2) et permet de construire « ˆ˙I , pˆI et Zˆ I . Les quantités duales ˆffI , qˆI et Wˆ I sont ensuite calculées en utilisant la direction de recherche (5.1). Finalement, les différents champs sont renvoyés sur leurs maillages respectifs pour poursuivre par une nouvelle étape linéaire n + 1. La question qui se pose alors, celle du choix de ce maillage d’interface, reste pour l’instant ouverte. 2.1.2 Méthode directe Une solution de référence peut être construite en utilisant une méthode monolithique. Après discrétisation sur ΩS, l’équation d’admissibilité solide (1.1) s’écrit sous la forme : εS = BεUS U ⋆T S B T σ σS =U ⋆T S fdS (5.3) où US est un champ défini aux nœuds, σS un champ défini aux points d’intégration des éléments et les opérateurs Bε et Bσ ont été définis dans (2.10). On introduit en outre l’opérateur Be , tel que eS = BeU˙ S. Après discrétisation sur ΩF , l’équation d’admissibilité fluide (1.2) peut s’écrire sous la forme : ZF = BzpF p ⋆T F (B T q qF +B T wWF ) = p ⋆T F gdF (5.4) où pF est un champ défini aux nœuds, ZF , qF et wF sont des champs définis aux points d’intégration des éléments et les opérateurs Bz , Bq et Bw ont été définis dans (2.10). On introduit en outre l’opérateur d’interpolation Bp, tel que PF = Bp pF soit le champ de pression correspondant à pF mais défini aux points d’intégration.

Les relations de comportement (1.3) peuvent s’écrire aux points d’intégration du maillage ΩI de l’interface entre les physiques : σI = DIεI − bPI , qI = 1 Q P˙ I + beI et WI = HIZI (5.5) Mise en place de l’approche multiéchelle 105 Par souci de précision, on différencie cette fois les opérateurs de transfert : σS = P σ SIσI et εI = P ε ISεS = P ε ISBεUS, eI = P e IS eS = P e ISBeU˙ S qF = P q F I qI et PI = P p IFPF = P p IFBp pF WF = P w F IWI et ZI = P z IFZF = P z IFBzpF (5.6) Si l’on injecte (5.5) puis (5.6) dans (5.3) et (5.4), on obtient : U ⋆T S (B T σP σ SIDIP ε ISBε) | {z } KS US −(B T σP σ SIbP p IFBp) | {z } NSF pF =U ⋆T S fdS p ⋆T F (B T q P q F I 1 Q P p IFBp) | {z } SF p˙F +(B T wP w F IHIP z IFBz ) | {z } HF pF +(B T q P q F IbP e ISBe ) | {z } NF S U˙ S = p ⋆T F gdF Le problème monolithique, écrit avec des maillages différents pour chacune des physiques et pour l’interface, consiste donc à résoudre : · 0 0 NF S SF ¸·U˙ S p˙F ¸ + · KS −NSF 0 HF ¸·US pF ¸ = · fdS gdF ¸ ou encore, en dérivant le premier groupe d’équations : · KS −NSF −NF S −SF ¸·U˙ S p˙F ¸ + · 0 0 0 −HF ¸·US pF ¸ = · ˙fdS −gdF ¸ dans lequel, a priori, NF S 6= N T SF . La résolution directe de ce système est particulièrement coûteuse car elle fait intervenir la factorisation d’une matrice particulièrement pleine. Si tous les maillages sont identiques, i.e. ΩS = ΩF = ΩI , tous les opérateurs de transfert sont égaux à l’identité : on retrouve alors le système symétrique (1.9) présenté dans le chapitre 1. Cette méthode n’a pour l’instant pas été mise en place. 2.2 Point fixe entre les physiques

Étape locale n +1/2

Les relations de comportement (1.3) sont cette fois exprimées entre les quantités transférées en utilisant PSF et PF S : ffˆS = D »ˆS − b(PSF pˆF )I, qˆF = 1 Q pˆ˙F + b(PF S eˆS) et Wˆ F = HZˆ F 106 Les aspects multiéchelles en espace Dans ce cas, il faut noter que ces équations ne sont a priori plus locales en espace. Ce point sera discuté par la suite. La direction de recherche E + (2.1), s’écrit sur les maillages ΩS et ΩF : ( ˆffS −ffSn)+L(« ˆ˙S − »˙Sn) = 0 (qˆF − qF n)+ r(pˆF − pF n) = 0 (Wˆ F −WF n)+H(Zˆ F −ZF n) = 0 (5.7) L’étape locale (2.2) est donc transformée en : L »ˆ˙S +D »ˆS = ASn + b(PSF pˆF )I (5.8a) 1 Q pˆ˙F + rpˆF = αF n − b(PF S eˆS) (5.8b) 2HZˆ F = β F n (5.8c) L’équation (5.8a) peut être traitée sur ΩS alors que (5.8b) peut l’être sur ΩF . La résolution de (5.8c) sur ΩF est, là encore, conduite a posteriori et sans difficulté particulière. La résolution directe du système (5.8a,5.8b) n’est pas efficace dans la mesure où les opérateurs de transfert couplent les valeurs des inconnues aux différents points d’intégration. On se propose de le résoudre par une méthode de point fixe entre (5.8a) et (5.8b). Une fois les seconds membres transférés d’un maillage à l’autre, cette technique permet de ne traiter que des équations locales en espace. Cette démarche est décrite par l’Algorithme 5.1. En pratique, le nombre de sous-itérations du point fixe qui sont nécessaires est faible (de l’ordre de 3 ou 4).