VECTEURS

Sur un vieux parchemin figure une carte de l’île du célèbre pirate Barbe Noire. Au dos du parchemin on peut lire : « Partez de la grotte et allez au symétrique de cette grotte par rapport au rocher. Puis, à partir de ce nouvel emplacement, allez au symétrique par rapport à la source. Enfin, allez au symétrique de ce dernier emplacement par rapport au pavillon noir. Le trésor se trouve alors à mi-chemin entre vous et la grotte. Seuls le diable et moi savons l’emplacement de mon trésor. Et le diable aura le tout ! »

On notera R, S et P les trois points représentant respectivement le Rocher, la Source et le Pavillon noir, et G la grotte. 4°) Pour la suite du problème, on nomme A le symétrique de G par rapport à R, B le symétrique de A par rapport à S et C le symétrique de B par rapport à P. Placer les points A, B et C.  5°) Construire le point T, emplacement du trésor pour cette position de la grotte. Faire apparaître les quadrilatères ABCG et RSPT, ainsi que le segment [BG]. En fait, Barbe Noire a menti : T n’est pas l’emplacement du trésor. Celui-ci a été entreposé dans la grotte. Barbe Noire de plus a omis de signaler que ABCG était un parallélogramme.

1°) Sur papier, dans un repère orthonormé, placer les points R (0 ; 0) , S (1 ; 4) , P (4 ; 5). Pour la figure, prenons G (2 ; 1). Construire les points A, B, C et T. 3°) En déduire les coordonnées de T. La conjecture (C1) est-elle vérifiée ? Quelle est la nature du quadrilatère RSPT ?  Ecrire une relation vectorielle liant les vecteurs RG