Algèbre linéaire, généralités

Familles libres, génératrices, bases, sous-espaces vectoriels

1.     Dans R3, on considère les vecteurs :

u1 = (2, 1 , 3)          u2 = (3, 5, -2)         u3 = (- 5, -13, 12)  ;

v  =  (-6, -17, 17)              w = (1, 1, 1)            0 = (0, 0, 0).

1°)Le vecteur v est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ? cette combinaison linéaire est-elle unique ?

2°) Le vecteur w est-il combinaison linéaire des vecteurs u1, u2, u3 ?

3°) Déterminer l’ensemble des triplets (x, y, z) de nombres réels tels que :

                                x.u1 + y.u2 + z.u3 = 0 .

En déduire une expression de u3 en fonction de u1 et u2.

4°) Soit U = (a, b, c) un vecteur quelconque de R3. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur a, b, c pour que U soit combinaison linéaire de u1, u2,u3.

 

2.               Pour chacune des familles de vecteurs de R2 suivantes, dire si elle est libre, liée, génératrice, si elle est une base de R2 :

( (1, 2) , (1, -1) ) ;

( (1, 4) ) ;

( (0, 0) ) ;

( (1, -2) , (2, 3) , (1, 0) ) .

 

3.     Mêmes questions pour les familles de vecteurs de R3 :

(  (1, 2, 1) , (1, 0, -1)  ) ;

(  (7, 6, 9) , (1, 4, 6) , (3, 6, 2) ) ;

(  (3, 6, 2) , (6, 12, -4) ) ;

(  (2, 4, -6) , (-3, -6, 9) ) ;

(  ( 3, 6, 2) , (1, 0, 3), (a, b, c) ) .

 

4.     Soit B = (e1, e2, e3) la base canonique de R3 . Soit

         u = (1, 1, 1) , v = (1, -1, 0) , w = (-1, 1, -1) .

1°) Montrer que B’ = (u,v,w) est une base de R3 .

2°) Trouver les coordonnées de e1, e2, e3 dans la base B’.

 

5.     Soit E l’espace vectoriel des fonctions de R dans R. Parmi les sous-ensembles de E suivants, dire quels sont les sous-espaces vectoriels de E :

                     les fonctions bornées ;

                     les fonctions dérivables ;

                     les fonctions continues ;

                     les fonctions paires ;

                     les fonctions monotones ;

                     les foncions positives .

6.     Déterminer une base et la dimension de chacun des sous-espaces vectoriels de R3 suivants :

F1 =  { (x, y, z) ; 2x + y – z = 0}
F2 =  { (x, y, z) ; 2x = 0 ; 3y – z = 0 }
F3 =  { (x, y, z) ; x – z = 0 ; 3y – z = 0 }
F4 =  { (x, y, z) ; -x –y + z = 0 ; 2x + y – 5z = 0}
F5 =  { (x, y, z) ; 2x – 3z = 4y – 5x }

F6 =  { (x, y, z) ; -x +2y = y +6z = 3z – 2x } .

7.     Soit E l’espace vectoriel des suites numériques. Montrer que

F = { (un) ; « n Î N un+2 = 3un+1 + 4un } est un sous espace vectoriel de E.

 

8.     Résoudre le système linéaire :

On discutera suivant la valeur de  . On montrera qu’il existe deux valeurs de  pour lesquelles l’ensemble des solutions est un sous-espace vectoriel non réduit au vecteur nul. On explicitera une base de chacun de ces sous-espaces vectoriels.

 

 

Applications linéaires, matrices, images, noyau

 

9.     Soit f l’endomorphisme de R3 défini par :

                     f( (x, y, z) ) = (z + y – x, x + z – y, x + y – z)

1°) Ecrire la matrice A de f dans la base canonique B de R3.

2°) Déterminer la matrice de fof par les deux méthodes suivantes :

1. a) en calculant les images par fof des vecteurs de la base canonique ;
2. b) en calculant le produit AxA.

3°) En déduire fof(x, y, z) pour tout (x, y, z) dans R3.

 

10.           Dans l’espace vectoriel R2, on considère les vecteurs suivants :

                                u = (1, 1) ;  v = (1, -1) .
1°) Montrer que B’ = (u, v) est une base de R2.
2°) Soit f un endomorphisme de R2 vérifiant f(u ) = (2, 3) et f(v) = (4,5) . Expliquer pourquoi f est bien défini.
3°) Soit (x, y) un vecteur de R2. Déterminer en fonction de x et y les réels a et b tels que  (x, y) = a.u + b.v . En déduire la matrice A’ de f dans la base B’. Calculer f(2u+3v).
4°) Soit B = (e1, e2) la base canonique de R2. Montrer que e1 = (u+v) , e2 = (u–v).En déduire f(e1) et f(e2), puis la matrice A de f dans la base canonique B. Calculer f(x,y) pour (x,y) quelconque dans R2.

11.           Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique (e1, e2, e3) de R3 est :

1°) Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).
2°) On pose

                     v1 = e1 – e2              v2 = e1 + e3                   v3 = e2 – e3 .

Montrer que (v1, v2, v3) est une base de R3. Déterminer la matrice de f dans cette nouvelle base.

12.           Soit l’endomorphisme de R3 dont la matrice dans la base canonique est :

                                M =
Déterminer une base et la dimension de Ker(f) et de Im(f).

Inverse d’une matrice, puissance n-ième d’une matrice

 

16.           Pour chacune des matrices suivantes, dire si elle est inversible ou non. Dans le cas où la matrice est inversible, calculer son inverse :

A =   ;   B =   ;   C =  ;   D =  ;
D =  ;   E =
Du résultat concernant la matrice E, déduire la solution du système linéaire suivant :

17.           Pour chacune des questions ci-dessous, A est une matrice vérifiant la relation donnée. Dire dans chaque cas si A est inversible ou non. Si A est inversible, exprimer A-1 en fonction de A et I. (On supposera au besoin que A est une matrice non scalaire, c’est à dire qu’elle n’est pas égale à k.I, où k est un nombre réel.)

1°) A2 – 5A + 6I = 0          2°) A3 + 2A = I                  3°) A2 = -A
4°) (A – I).(A +2I) = 0       5°) (A – I).(A +2I) = -2I;  6°) A3 = 0;  7°) A3  = I.

 

18.                    Soit A et B les matrices :

                     A =                   B = .
1°) Calculer B2, puis Bn, pour tout entier n supérieur ou égal à 2.
2°) Exprimer A comme combinaison linéaire de B et de I, et en déduire l’expression deAn pour tout n supérieur ou égal à 1 (attention à la justification).

19.           On considère la matrice :   M = .

1°) Calculer A = .(M – I), puis A2.
2°) Montrer qu’il existe une suite de nombres (un) telle que :
                                « n Î N   Mn = I + un.A

3°) Calculer un, puis  Mn, pour tout n dans N.

 

20.           On donne les matrices : I =  ,  J = .

1°) Calculer J2 et J3. En déduire Jk, k entier supérieur ou égal à 3.
2°) On pose T = 2I + J. Donner pour tout n dans N l’expression de Tn.

 

21.           On considère les suites (un) et (vn) définies par leurs premiers termes u0, v0 et par les relations de récurrence : (n Î N)

                    

1°) Montrer qu’il existe une matrice A telle que pour tout n dans N :
2°) En déduire que, pour tout n dans N :
                       .
3°) Calculer An en écrivant A = 5I + J, où J est une matrice à déterminer, puis en calculant J2.

4°) Pour tout n dans N, exprimer un et vn en fonction de n, u0, v0.

 

 

22.           On considère la suite (un) définie par ses deux premiers termes u0, v0 et pour tout entier n supérieur ou égal à 2 :     (1)   un = un-1 + 2un-2   .

1°) Montrer que la suite (xn) définie par  :  xn = un + un-1 est géométrique. En déduire l’expression de xn  en fonction de u0, u1, n.
2°) Montrer que la suite (yn) définie par  :  yn = un – 2un-1 est géométrique. En déduire l’expression de yn  en fonction de u0, u1, n.

3°) Soit la matrice : A = . Montrer que pour tout n dans N:

                     An = , pour des suites (an) et (bn) qui vérifient (1).
4°) En déduire les valeurs de an, bn, puis l’expression de An.

 

23.           Soit la matrice M = .

1°) Vérifier : (M – I).(M +3I) = 0. En déduire que M est inversible et calculer son  inverse.
2°) Exprimer M2 en fonction de M et I. Montrer par récurrence que pour tout M dans N : Mn = un.M + vn.I, où (un) et (vn) sont deux suites vérifiant : u0 = 0, v0 = 1, et , pour tout n dans N :

                      

3°) Soit sn = un + vn. Montrer que (sn) est une suite constante. En déduire que (un) est une suite arithméticogéométrique. Calculer un en fonction de n.
4°) Exprimer vn, puis Mn, en fonction de n.
 

24.           Soit A =  et M = .

1°) Calculer A2 ; montrer que A est inversible et calculer son inverse.

2°) Montrer que M est combinaison linéaire de A et I.

3°) Montrer qu’il existe deux suites (un) et (vn) telles que l’on ait , pour tout n dans N :

                                Mn = un.I + vn.A  .
Que valent u0, u1, v0, v1 ? Trouver les relations de récurrence vérifiées par (un), (vn).
4°) Montrer que (xn) et (yn) définies par :
sont deux suites géométriques dont on précisera le premier terme et la raison.

5°) En déduire les expressions de xn, yn, puis de un, vn en fonction de n.

6°) Ecrire la matrice Mn en fonction de n.

7°) Utiliser ce qui précède pour trouver en fonction de n l’expression des suites (an),

         (bn), (cn) définies par les relations :    et, « n Î N  : 

 

25.           On considère les matrices M = et     I =  .

1°) Calculer la matrice M2.

2°) Montrer qu’il existe trois nombres réels non tous nuls a, b, c tels que la matrice

                     a.M2 + b.M + cI soit la matrice nulle.

3°) Plus généralement, montrer qu’il existe trois nombres réels non tous nuls et indépendants de l’entier n tels que, pour certaines valeurs de n que l’on précisera, la matrice a.Mn + b.Mn-1 + c.Mn-2 soit la matrice nulle.

4°) Soit Mn =  . Montrer que les quatre suites (an), (bn), (cn), (dn) sont solutions d’une même équation linéaire du type : un = x.un-1 + y.un-2.

5°) Résoudre cette équation ; On explicitera un en fonction de u0, u1.

6°) Calculer les coefficients de la matrice Mn. Quelles sont les limites de ces coefficients lorsque n tend vers +¥ ?

 

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