Méthode de Boltzmann sur réseau et modélisation numérique

L’investissement fait dans le domaine de la simulation et modélisation 3D des matériaux est justifié d’important en raison de difficultés rencontrées lors des mesures directes délicates, souvent couteuses et parfois impossibles, et d’autre part par la croissance rapide des outils informatiques qui permettent des résolutions fiables. La simulation, permet de comprendre le rôle des paramètres étudiés. Les méthodes d’évaluations indirectes par simulation sont donc attrayantes et leur utilisation est justifiée. La résolution des problèmes en mécanique de fluides (i.e. les équations aux dérivées partielles) est fondée sur des schémas de différences finis (DF) [1], d’éléments finis (EF) [2] et de volumes finis (VF) [3]. Il s’agit d’une discrétisation spatiale et temporelle des équations macroscopiques telles que l’équation de Navier-Stokes. Ces méthodes sont efficaces mais leur inconvénient principal est la mise en œuvre des conditions aux limites quand le problème à résoudre devient complexe. La méthode de Boltzmann sur réseau (BR), [en anglais Lattice Boltzmann Method (LBM)] est une méthode mésoscopique pour décrire la dynamiques des fluides et modéliser la physique de fluide dont le principe est la résolution de l’équation de Boltzmann sous forme discrétisée [4] à l’échelle microscopique afin d’obtenir une solution à l’échelle macroscopique. Youngseuk Keehm [5] explique ce concept en Figure III–1. Le schéma en Figure III–2 regroupe les différentes méthodes utilisées pour la simulation d’un écoulement. Dans cette méthode, le fluide est traité comme un ensemble des particules se déplaçant selon des règles simplifiées dans un réseau composé de nœuds solides et fluides. Pendant un pas de temps, les particules se propagent vers les nœuds de voisinage et échangent leur quantité de mouvement pendant la collision. Chaque pas de temps l’application de forces externes au fluide, peut être prise en compte s’il y a lieu, ainsi que les différentes conditions aux limites.

Origine de la méthode Boltzmann-sur-réseau

 Cette méthode découle logiquement de la méthode Gaz sur réseau (GR) (en anglais Lattice Gas Automata (LGA)), appelée aussi Automates cellulaires [18] détaillée dans la référence [19]. Une telle exploitation d’un schéma ainsi discrétisé remonte à 1976, quand Hardy et al. [20] ont étudié les propriétés de transport des fluides. La méthode BR peut aussi être conçue comme un schéma particulier de différences finies pour l’équation cinétique de la fonction de distribution de vitesse-discrétisée . Récemment, BR est aussi dérivée directement de l’équation de Boltzmann  à l’aide du développement de ChapmanEnskog. III.2.1. Schéma Gaz sur réseau A son apparition, en 1973 , cette méthode avait pour but de disposer d’un simulateur de programmation sur ordinateur, le plus simple possible, afin de représenter les écoulements fluides. Dans le schéma général, l’espace des phases est discrétisé par un réseau nœuds. De même l’espace des vitesses est discrétisé par un certain nombre de vecteurs vitesse (selon le modèle choisi). Il y a 0 ou 1 particule au nœud déplacée dans la direction du réseau. Après un pas de temps, chaque particule se déplace vers le nœud voisin dans la direction de propagation. Si plusieurs particules, venant de différentes directions, se rencontrent au même nœud elles se heurtent et changent leurs directions selon des règles de collision [4, 24] en sorte qu’elles conservent leur masse, leur quantité de mouvement et leur énergie après la collision, voir Figure III–4. L’équation générale du schéma s’écrit : ( ) ( ) ( ) j i j j i j k n x + c , (Eq. III-1) t +1 = n x ,t + C n où n (x t) j i , est le nombre de particules de vitesse j c au nœud i x à l’instant t. Le terme C j désigne le terme de collision. Ce schéma souffre essentiellement du non-respect de l’invariance Galiléenne à savoir  » les lois de la Physique sont identiques (on dit covariantes) dans tous les référentiels en translation uniforme les uns par rapport aux autres « , et d’un bruit statistique dû à la nature booléenne de la méthode. La raison principale de la transition de l’algorithme de Gaz sur Réseau à celui de Boltzmann sur Réseau est l’élimination du bruit statistique en remplaçant  les tirages de particules booléenne dans une direction par une fonction de distribution moyenne, et les règles de collision par un opérateur de collision. 

Equation de Boltzmann 

En 1872, Ludwig Boltzmann, un physicien autrichien, avait proposé une équation intégro-différentielle de la théorie cinétique des gaz pour décrire l’évolution d’un gaz peu dense hors équilibre [25]. Cette équation de physique statistique décrit le comportement du gaz à l’échelle microscopique. Elle introduit une fonction pour décrire l’état du gaz par la définition de la position et la vitesse de chaque molécule dans le gaz. Le problème de cette approche, au niveau du calcul numérique, est la capacité de mémoire requise. Par exemple pour le cas de l’air (il contient 2,7.1019 mol/cm3 ), ce qui conduit aussi à l’instabilité de la solution [26]. L’écriture de l’équation de Boltzmann est fondée sur trois approximations : • Les collisions entre les particules sont binaires. Cette hypothèse limite l’application de l’équation au cas des gaz dilués. • Les particules sont considérées comme des points, et donc les vitesses, avant et après la collision, ne sont pas corrélées. • Il n’y a pas d’influence des forces externes lors de la collision.