Modélisation 0D du papillon

Une manière de réduire le temps de calcul est d‟adopter un modèle unidimensionnel qui ne prend pas en compte les contraintes internes de cisaillement, donc les contraintes de viscosité qu‟une maille élémentaire exerce sur la maille voisine. La plupart des écoulements au niveau des tubulures peuvent être considérés comme essentiellement unidimensionnels par nature, parce que les rapports longueur-diamètre (L / D) des tubulures sont assez grands pour que l‟écoulement soit entièrement développé. Pour une modélisation de type 1D les propriétés et les variables de l‟écoulement représentent des valeurs moyennes sur la section transversale du tuyau. Cependant ces modèles ne sont pas sans limitation. En effet l‟hypothèse de simplification 1D rencontre ses limites face à des éléments dont la géométrie est complexe et tridimensionnelle comme par exemple les répartiteurs d‟admission ou l‟écoulement à travers les soupapes. Cette limitation est le plus souvent contournée soit en appliquant des coefficients de pertes de charge locaux ou des coefficients de décharge empiriques, soit en couplant le code 1D à un autre code de calcul qui prendra en compte ces phénomènes [6]. De plus, en adoptant l‟hypothèse d‟un écoulement unidimensionnel, les conditions aux limites appliquées à la tubulure auront un effet important sur la solution finale.

De façon générale, il est impossible d‟obtenir une solution analytique du problème décrit par les équations de la dynamique des gaz sauf pour quelques cas particuliers. Pour cette raison des techniques de résolution ont été développées.

Toutes les méthodes unidimensionnelles (souvent nommées Wave Action Models[8]) partant d‟un même système d‟équations, elles ne peuvent se différencier que par le degré de simplicité des hypothèses qu‟elles supposent, par leurs limites d‟utilisation et par la discrétisation introduite [9]. Les trois équations de la dynamique des gaz peuvent alors s‟écrire sous une forme simplifiée en utilisant une écriture vectorielle [10] (équation (I-5)).

Il apparaît que les termes de dissipation d‟énergie par conduction dans le fluide et due à la viscosité interne du fluide sont négligeables par rapport aux termes de dissipation d‟énergie par frottement pariétal et par échange de chaleur avec l‟extérieur [9]. Par conséquent, l‟étude des phénomènes de propagation d‟ondes de pression au sein des tubulures d‟admission et d‟échappement des moteurs à combustion interne est réalisée en supposant que les principaux phénomènes de dissipation d‟énergie sont dus aux frottements avec les parois et aux échanges de chaleur avec l‟extérieur. Mais les comparaisons entre les schémas numériques sont faites en négligeant la viscosité et l‟échange de chaleur avec l‟extérieur, et en considérant une section constante pour la tubulure, donc Sw = 0. L‟équation vectorielle ainsi obtenue correspond aux équations unidimensionnelles d‟Euler [10]. Cette représentation des équations est alors dite conservative. Cependant, il existe une autre écriture, non conservative, qui est utilisée avec la Méthode des Caractéristiques.

La première méthode numérique appliquée à l‟étude de la dynamique des gaz au niveau des tubulures de moteurs était la méthode des caractéristiques (MOC) qui était d‟abord développée par Riemann [11] et utilisée comme technique graphique par Jenny [12]. Elle est basée sur la possibilité de transformer un système d‟équations aux dérivées partielles (dynamique des gaz) en un système d‟équations aux dérivées ordinaires.

Les hypothèses adoptées sont :

    • Le fluide est parfait (γ, cp et cv constants)

    • Le fluide est non visqueux (G=0).

    • L‟écoulement est isentropique (pas d‟échange de chaleur avec l‟extérieur : qe = 0)

    • La section est constante

Les équations aux dérivés ordinaires obtenues (équations de compatibilités) par la méthode des caractéristiques sont alors plus simples [9] :

L‟équation (I-9) est déduite de l‟équation de conservation de l‟énergie en considérant l‟écoulement comme étant isentropique et le fluide comme étant un gaz parfait.

Une extension a par la suite été développée afin de prendre en compte les variations de sections, les frottements et les échanges thermiques [13].

La méthode des caractéristiques permet donc d‟étudier physiquement l‟influence sur l‟état du gaz des perturbations qui arrivent en certains points préalablement choisis des tubulures suivant des intervalles de temps compatibles avec les délais d‟évaluation des phénomènes, autrement dit fonction de la vitesse du son dans le milieu considéré. Elle permet d‟obtenir avec précision les lois d‟évolution de pression, de vitesse et de température en tout point des tubulures, en fonction du temps et en particulier aux extrémités où les phénomènes intéressent plus spécialement le motoriste.

Cependant, cette méthode étant non-conservative, les caractéristiques se croisent à l‟apparition d‟un choc. De plus, l‟hypothèse d‟écoulement isentropique n‟est plus valable au moment où il apparait des ondes de choc. Donc il faut à chaque instant connaître l‟état du système afin de savoir si un choc apparaît ou non. Des travaux faits par Rankine [14] et Hugoniot [15] ont permis d‟introduire les phénomènes de choc et des conditions aux limites à la méthode des caractéristiques. Il faut alors faire appel aux équations de choc (Rankine-Hugoniot) et maintenir un couplage entre les deux résolutions. Ceci reste assez contraignant surtout si plusieurs ondes de chocs se propagent dans la canalisation. Borel a présenté une description détaillée de cette méthode [16].

La méthode des caractéristiques supposait initialement un écoulement homentropique (entropie constante et uniforme : échange d‟énergie entre les particules négligé). Benson [17] a proposé une approche mathématique qui permet d‟introduire l‟écoulement non-homentropique à cette méthode. Mais son problème principal est qu‟elle nécessite une résolution itérative qui augmente considérablement le temps de simulation [18].

D‟autre part, l‟utilisation de la méthode des caractéristiques comme méthode graphique comporte quelques problèmes, comme la possibilité de calculer les caractéristiques soit à temps constant, soit à position constante uniquement. L‟utilisation de l‟interpolation linéaire entre les points calculés baisse la précision au premier ordre.

A cause des difficultés de la méthode des caractéristiques et de sa faible précision, les chercheurs ont développé les méthodes des différences finies afin de résoudre les équations de la dynamique des gaz.

Win représente l‟état initial, et la méthode numérique est un moyen de calcul explicite de la solution à l‟instant suivant tn+1 pour obtenir Win+1. Ce schéma est très simple mais de faible précision et aboutit à des résultats insatisfaisants. Pour cela d‟autres schémas numériques ont été proposés. L‟un des schémas connus est celui de Lax-Friedrichs à un pas [19] décrit par Bulaty et Niessner [20] pour la résolution de systèmes hyperboliques des lois de conservation [21].

Ce schéma est aussi basé sur la méthode de temps-avancé ( t  t n 1  tn ) espace-centré ( x  x i 1  xi 1 ) (FTCS) qui est conditionnellement stable avec des oscillations ayant lieu au niveau des chocs et des discontinuités. Il a une précision de premier ordre en temps et de 20 second ordre en espace. Son avantage principal est la simplicité de programmation. Comme pour le schéma explicite, il part du développement de Taylor. La différence est qu‟il calcule une valeur moyenne de Wi et aboutit donc à une équation de la forme suivante : Comme le cas réel est continu, la discrétisation introduit forcément des erreurs. Donc lors de la résolution numérique, il ne faut surtout pas amplifier les erreurs de discrétisation. Le pas de temps Δt et le pas en espace Δx sont constamment liés par la relation de Courant-Friedrichs-Lewy [22] (CFL) pour assurer la stabilité de la solution: La valeur du coefficient CFL dépend du schéma numérique utilisé et est égale à l‟unité dans le cas d‟équations linéaires, qui n‟est pas le cas ici.

L‟avantage des algorithmes de premier ordre est qu‟ils sont monotones, simples et rentables d‟un point de vue temps de calcul. Cependant, les schémas de second ordre améliorent la précision du modèle dans l‟espace et dans le temps. Pour cela, le schéma de Lax-Wendroff à deux pas (LW2) développée par Richtmyer [23] ou le schéma de MacCormack [24] (MAC), utilisé. Ces deux méthodes ont une précision de second ordre dans l‟espace et le temps, et le schéma de MacCormack donne la même solution que Lax-Friedrichs lorsqu‟il est appliqué à une équation linéaire d‟advection. Mais les schémas de MacCormack ne peuvent pas être utilisés dans le cas d‟une application moteur où le sens de l‟écoulement peut s‟inverser parce qu‟ils sont développés pour un sens d‟écoulement déterminé. La plupart des chercheurs dans le domaine des moteurs à combustion interne tendent à utiliser la méthode Lax-Wendroff à deux pas [25][26][27].

Ce schéma est composé d‟un demi-pas du schéma Lax-Friedrichs et d‟un second demi-pas du schéma Leapfrog (qui est utilisé pour les équations linéaires) [28] et qui est nommé schéma à décomposition de flux ou FVS (Flux Vector Splitting) [29]: Ce schéma est un cas particulier des schémas de type « prédicteur-correcteur » (appelés schémas Sαsβs) qui est composé de deux étapes et qui reste stable si le coefficient CFL reste inférieur à l‟unité [9]. Sa représentation générale est de la forme suivante (Figure 5): Cependant, le schéma LW2 a un problème d‟oscillation comme celui de Lax-Friedrichs et doit être modifié afin de donner de bonnes solutions.

La viscosité artificielle est un terme dissipatif ajouté à l‟équation (I-20), et qui amortit les oscillations et évite l’apparition d’instabilités numériques. En se basant sur les études de Richtmyer et Morton [30], Lapidus a proposé une forme de viscosité artificielle de la forme suivante, en négligeant les variations de la vitesse du son.