Modélisation de la nucléation et de la croissance de bulles

Positionnement de l’étude

Les différentes approches et les modèles développés dans la littérature 

Il a été expliqué précédemment que le moussage de polymère pouvait avoir lieu soit dans un réacteur fermé, soit dans un réacteur ouvert comme une extrudeuse. On parle alors respectivement de procédé batch ou continu. La différence majeure entre ces deux approches, dans une optique de modélisation / simulation, est le fait que le polymère soit en écoulement – cas de l’extrusion – ou pas. Il faut donc prendre en compte l’écoulement du polymère dans la filière pour la résolution de la nucléation et de la croissance dans le cas d’une approche en continu. Le chapitre État de l’art a montré que plusieurs modèles avaient été développés dans la littérature pour estimer la nucléation et la croissance des bulles. Par exemple, le modèle développé par Shafi et al. [Shafi1996 ; Shafi1997a ; Shafi1997b] consiste à résoudre simultanément la nucléation et la croissance des bulles dans une approche batch. Dans ce modèle, les équations nécessaires pour la résolution de la croissance des bulles ont été modifiées en prenant en compte le concept de volume d’influence. Cette modification va être explicitée dans la partie suivante. Une des spécificités dans cette simulation est que la pression de la phase continue (le polymère) est constante au cours du temps et égale à la pression finale. Dans l’étude de Mao et al. [Mao2006], il a été choisi d’utiliser le même modèle que pour Shafi et al. Dans l’étude de Taki [Taki2008], le modèle développé par Shafi et al. a été mis en œuvre en appliquant cette fois-ci un profil de pression de la phase continu décroissant linéaire. Ceci a été fait en restant dans une approche batch. Appliquer un profil de pression du polymère décroissant complexifie fortement le problème, car il faut gérer la croissance des bulles dans un milieu avec des propriétés variant au cours du temps. Pour Leung et al. [Leung2006], le choix s’est également porté sur un profil de pression du milieu continu décroissant, mais ce profil de pression commence par un fort saut de pression suivi d’une décroissance linéaire. Cependant, dans cette simulation, seule la croissance est prise en compte et la résolution des équations de croissance ne se fait pas par le modèle du volume d’influence. Enfin, pour Shimoda et al. [Shimoda2001], il est également question d’utiliser le modèle de Shafi et al., mais cette fois-ci dans une approche continue. Dans cette simulation, il faut donc prendre en compte l’écoulement du polymère le long de la filière, ainsi que le changement de pression du milieu continu. La gestion de la pression du milieu continu dans les modèles présentés ci-dessous est faite de façon différente. La figure 5.1 en est une représentation graphique. 

L’approche de modélisation utilisée dans cette étude 

Le choix du modèle

 Le paragraphe précédent a permis de voir que, sur les cinq approches présentées, le modèle développé par Shafi et al., consistant à utiliser le volume d’influence pour résoudre la croissance des bulles, était le plus utilisé. De plus, les différentes applications de ce modèle ont montré qu’il était possible de le mettre en œuvre avec un profil de pression du polymère décroissant. Expérimentalement, il a été observé qu’avec la diminution de la température de la filière, la pression avant celle-ci pouvait être plus élevée et que ceci mène à un saut de pression plus important. Les photographies MEB ont de plus montré que la nucléation était fortement favorisée lors des essais à faible température de filière. L’objectif choisi pour cette modélisation sera de mettre en œuvre le modèle de Shafi et al. pour être capable de prédire la densité cellulaire. Cela permettra d’identifier les cinétiques de nucléation et de croissance pour mieux appréhender le changement de phénoménologie lors du moussage. Dans un premier temps, il a été envisagé de prendre en compte l’écoulement au sein de la filière comme l’ont fait Shimoda et al. [Shimoda2001]. Dans un second temps, en raison de la complexité du modèle développé par [Shafi1996], seul le changement de pression du polymère pour représenter l’extrusion-moussage a été pris en compte. Ceci revient donc à réaliser la modélisation en se basant sur la méthode développée par Taki [Taki2008] pour le changement de pression. 

La mise en œuvre : paramètres considérés et mise en équations 

Dans cette approche, on considère un volume d’influence Vs(t) autour de chaque bulle (cf. figure A.1, page 198). Ce volume d’influence est un volume réservé par la bulle dans lequel il ne peut pas y avoir nucléation d’une autre bulle. À l’opposé, le volume de non-influence VL(t) est le volume restant dans le polymère et disponible pour la nucléation de nouvelles bulles. Ces équations sont réécrites dans l’annexe A.1.1, page 197. À chaque pas de temps t, la nucléation a lieu s’il reste suffisamment de volume de non-influence, (voir annexe A.1.2, page 199). Quand ce volume de non-influence devient trop petit, il ne peut plus y avoir de nucléation. À partir de ce moment là, le nombre de populations de bulles est donc connu et constant et il est possible de passer à l’étape suivante : la croissance des bulles (cf. annexe A.1.3, page 199). Une des hypothèses de cette approche de modélisation est que les bulles n’interagissent pas entre-elles et donc ne coalescent pas. Il en résulte qu’au temps final tf , lorsque le volume de non-influence est devenu trop petit et que la nucléation s’est arrêtée, le nombre de bulles devient également constant et connu. Malgré tout, les bulles continuent à grossir en consommant le gaz dissous dans le volume d’influence Vs(t), jusqu’à atteindre l’équilibre. Lors de cette étape, il n’est pas possible de connaître le temps « d’équilibre », car il dépend de la vitesse de croissance des bulles qui est inconnu.

Influence de la pression du milieu extérieur à la bulle et adimensionnalisation 

Pour simplifier numériquement le problème, une adimensionnalisation est réalisée en se basant sur ce qui a été fait par Shafi et al. [Shafi1996]. Deux cas se présentent : la pression du milieu extérieur à la bulle (la phase continue donc le polymère) est constante ou décroissante, et ceci a une influence sur l’adimensionnalisation En effet, pour pouvoir réaliser l’adimensionnalisation, il faut se situer dans un cas où la pression de la phase continue est constante, car toutes les grandeurs physiques du problème dépendent directement ou indirectement de cette pression. Lorsque Ppolymère est constante, l’adimensionnalisation est faite directement, tandis que lorsque Ppolymère est décroissante, il faut découper le profil de pression de façon à se trouver dans un cas où la pression est considérée constante. Ce découpage en pression est explicité dans le paragraphe suivant.