Propriétés de l’espace  H1 per(Ω)

Ce paragraphe est consacré à deux propriétés importantes, concernant l’espace  H1 per (Ω), dont nous nous servons par la suite pour justifier la validité du cadre fonctionnel choisi pour notre problème, afin d’appliquer la réduction de Lyapunov Schmidt. Ces deux propriétés sont : l’inégalité de Poincaré (généralisée, dite inégalité Poincaré-Wirtinger), et la compacité de l’injection de  H1 per(Ω) dans H. Nous présentons ici des démonstrations, qui reposent sur le développement en séries de Fourier (notation complexe) caractérisant les éléments de  H1 per(Ω) : u(X, Y ) = X k ∈ Z 2 Cke (ik1X+ik2Y ) , o`u Ck est le coefficient de Fourier, d’indice vectoriel k = (k1, k2) ∈ Z 2 , défini par Ck = 1 4π 2 Z Ω u(ξ, η)e −i(k1ξ+k2η) dξdη (2.9) 2. Formulation opérationnelle du problème 33 et vérifie Ck = C−k (puisque u est une fonction réelle). L’inégalité de Poincaré Nous allons montrer, grˆace à la condition Z Ω u(ξ, η)dξdη = 0, (2.10) que l’inégalité de Poincaré reste valable pour les espaces du cadre fonctionnel choisi (  H1 per(Ω) et H). Théorème 2.5.1: Si u ∈  H1 per(Ω) alors kukH ≤ |u|1,Ω. Preuve On considère le développement en série de Fourier d’un élément u de  H1 per(Ω) u(X, Y ) = X k ∈ Z 2 Cke (ik1X+ik2Y ) . On a ∂Xu(X, Y ) = X k ∈ Z 2 ik1Cke (ik1X+ik2Y ) , 2. Formulation opérationnelle du problème 34 et ∂Y u(X, Y ) = X k ∈ Z 2 ik2Cke (ik1X+ik2Y ) . D’après l’identité de Parseval on a kuk 2 H = 4π 2 X k ∈ Z 2 |Ck| 2 , (2.11) ainsi que pour les dérivées k∂Xuk 2 H = 4π 2 X k ∈ Z 2 |k1| 2 |Ck| 2 , et k∂Y uk 2 H = 4π 2 X k ∈ Z 2 |k2| 2 |Ck| 2 . Donc k∂Xuk 2 H + k∂Y uk 2 H = 4π 2 X k ∈ Z 2 

La compacité de l’injection de  H1 per(Ω) dans H

Théorème 2.5.3: L’inclusion  H1 per(Ω) ⊂ H est une injection compacte. Preuve Ici on va reprendre la démonstration présentée dans [6, Th A.4, p.437] adaptée à notre cas (m = 2 et L1 = L2 = 2π). On considère une suite {un}n≥1, un = X k ∈ Z 2 C n k e (ik1X+ik2Y ) . bornée dans  H1 per(Ω). Donc il existe une constante positive M telle que X k ∈ Z 2 .

Preuve

En effet, ayant un inverse borné, −∆sr est un opérateur fermé (proposition 1.1.3-(ii)), et admet la valeur réelle zéro dans son ensemble résolvant. De plus, étant symétrique, −∆sr est un opérateur auto-adjoint d’aprés la proposition 1.1.8, ce qui achève la démonstration de la proposition. Comme conséquence immédiate des propositions (1.1.9) et (2.6.1) on a Proposition 2.6.2: Pour tout α > 0, (∆sr+αI) est un opérateur auto-adjoint dans H. Remarque 2.6.3: En reproduisant la démarche et l’analyse précédente concernant l’opérateur −∆sr, on peut montrer que pour tout λ ≥ 0, (−∆sr+λI) est un opérateur auto-adjoint, et à résolvante compacte. Ceci, en étudiant le problème    U ∈  H1 per(Ω) −∆sr(U) + λU = f, f ∈ H. Proposition 2.6.4: Pour tout α > 0, ∆sr et (∆sr + αI) sont des opérateurs de Fredholm d’indice zéro. Preuve D’une part, la compacité de l’injection de  H1 per(Ω) dans H (voir le théorème 2.5.3), implique que pour tout λ ≥ 0, l’opérateur (−∆sr + λI) admet une résolvante compacte dans H. 2. Formulation opérationnelle du problème 43 D’autre part, si λ ∈ R est tel que λ − α > 0, alors on a (∆sr − (λ − α)I) −1 (∆sr + αI) = I + λ(∆sr − (λ − α)I) −1 (∆sr + αI)(∆sr − (λ − α)I) −1 = I + λ(∆sr − (λ − α)I) −1 . (2.17) En posant A0 = (∆sr − (λ − α)I) −1 , et K1 = K2 = −λ(∆sr − (λ − α)I) −1 . Sachant que A0 est un opérateur borné, et que K1 ou K2 est un opérateur compact, compte tenu de (2.17), on voit bien que les conditions de la proposition 1.2.4, pour que (∆sr + αI) soit de Fredholm sont réalisées. Par un argument analogue, on montre aussi que ∆sr est un opérateur de Fredholm. Il reste à montrer que leurs indices sont nuls. Puisque ∆sr et (∆sr + αI) sont auto-adjoints (d’après les propositions (2.6.1) et (2.6.2)), ils admettent nécessairement des indices nuls (voir[18])