Modélisation des échanges hydrodynamiques et thermiques dans un bassin de rétention de forme paraboloïdale

Formulation mathématique du problème 

Position du problème et choix du référentiel

 Considérons un paraboloïde creux de centre O rempli d’eau. La paroi du bassin est recouverte d’une matière lisse, isotherme et imperméable de telle sorte que les transferts d’eau par infiltration soient inexistants .A partir d’un certain instant t0, la surface libre du bassin est parcourue par un courant d’air chaud qui entraîne le mouvement et l’échauffement de l’eau dans le bassin. Figure 1: Représentation du système physique La géométrie du problème nous conduit à utiliser : -Dans l’air, le système de coordonnées cartésiennes avec x (la coordonnée horizontale longitudinale suivant laquelle s’effectue le mouvement), y la coordonnée verticale et z la coordonnée horizontale transversale comptées toutes à partir du centre de la surface libre du bassin. 6 Figure 2: Représentation en coordonnées cartésiennes -Dans l’eau, le système de coordonnées paraboloïdale , et  comptées à partir du centre O de la surface libre du bassin . 

Equations générales des transferts 

D’après les lois fondamentales de la mécanique des milieux déformables, les équations générales des transferts s’écrivent :   13 – Equation de bilan de la matière totale:      JVDiv )( t  (-2-1)   , i i JJ  i J est la densité de flux de diffusion des    i à travers la surface   S .   i  i , i est la densité de taux de production de la grandeur    i dans le volume   v . – Equation du mouvement sous forme de variables primitives: ii i fPDivVgradV t V         )()( (-2-2) P étant un tenseur d’ordre 2 appelé tenseur des contraintes. i f  est le champ de force massique qui s’applique sur chaque constituant    i i de  . – Equation du mouvement sous forme de vorticité:                    i ii GradV DivProt frot t     

Equation de la chaleur 

C représente l’effet Dufour qui rend compte de la contribution du gradient de concentration au flux de chaleur. – Equation du bilan de l’espèce   Le terme TD représente l’effet Soret (thermo diffusion) qui rend compte de la contribution du gradient de température au flux massique. 8  étant le cœfficient de thermo migration. Afin de simplifier les équations qui régissent les phénomènes de transferts, nous posons les hypothèses suivantes:

Hypothèses simplificatrices 

Dans l’air  

Nous adoptons les hypothèses des couches limites laminaires hydrodynamique et thermique dans l’air.  L’air est un mélange d’air sec et de vapeur d’eau assimilés à des gaz parfaits.  La vitesse, la température et la concentration de la vapeur dans l’air à l’entrée du bassin sont constantes.  Les propriétés physiques du mélange sont constantes.  L’écoulement de l’air au dessus du bassin s’effectue seulement suivant (Ox).  Les effets radiatifs peuvent y être négligés.  Les effets Dufour et Soret sont négligés. 

Dans l’eau 

Les transferts sont bidimensionnels.  Les propriétés thermodynamiques de l’eau sont constantes.  L’eau est macroscopiquement homogène et n’est le siège d’aucune réaction chimique.  Les effets Dufour et Soret sont négligés.  Le transfert de masse ne s’effectue qu’à la surface. 

Equations simplifiées : Eu égard aux hypothèses (1.3.1) et (1.3.2), les équations vectorielles donnent: 

 Dans l’eau: – Equation de continuité:- Equation du mouvement sous forme de variables primitives :.L’équation du mouvement sous forme des variables primitives étant fortement non- linéaire, difficile à résoudre du point de vue numérique, nous faisons appel à la notion de vorticité qui nous permet d’obtenir une équation quasi-linéaire plus malléable numériquement. Pour compléter le système, on introduit l’équation de la fonction de courant. – Equation du mouvement sous forme de la vorticité.

 Conditions et équations des bilans à l’interface

Sur cette surface, la concentration massique correspond aux conditions de saturation de la vapeur d’eau qui sont précisées par la formule reliant cette concentration massique à la pression de vapeur saturante Pvs à savoir :  2 A la surface de contact air- eau, le couplage des transferts de chaleur et de masse dans l’air avec ceux dans l’eau se traduit par la continuité des contraintes et le bilan thermique suivants : a) Continuité des contraintes b) Bilan thermique : L’air apporte un flux de chaleur  c jusqu’à la surface de l’eau. Ce flux sert d’une part, à chauffer l’eau par conduction et d’autre part, à évaporer l’eau en surface. Donc : cc 0   ev c0 : Densité de flux servant à chauffer l’eau dans le bassin par conduction est donnée par :     Densité de flux de chaleur servant à évaporer l’eau liquide à la surface,