Modélisation et simulation des crues dans le bassin supérieur de l’ikopa

Modélisation mathématique 

Par définition, la modélisation consiste à élaborer un modèle. Le principe est de partir des relations (lois physiques ou relations empiriques) entre différentes grandeurs décrivant un phénomène de la nature.

Quelques éléments de vocabulaire propre à la modélisation

Afin d’avoir une idée sur les notions introduites ci-dessous, prenons le modèle « Pluie – Débit » qui exprime le débit Q (réponse du Bassin Versant) en fonction des précipitations. 

 Variables indépendantes ou variables d’entrée ou variables de forçage Ce sont les données d’entrée du modèle. Dans le cas de notre exemple, il s’agit des mesures de pluie. 1

 Variables dépendantes ou de sortie Il s’agit des grandeurs calculées à partir des relations entre elles et les variables de sortie. C’est le débit dans le cas de notre exemple.

Variables d’état Variables permettant de caractériser l’état du système modélisé, qui peuvent être en fonction du temps dans certain cas. Dans notre exemple, il s’agit du taux de saturation des sols et de la pente dans le Bassin Versant. 

Différentes approches de la modélisation mathématique 

 Modèle déterministe

C’est un modèle qui associe à chaque jeu de variables de forçage, une réalisation unique des variables de sortie pour les mêmes variables d’état.

 Modèle stochastique

Dans ce modèle, on admet qu’une au moins des variables d’entrée ou variables d’état est aléatoire. Par voie de conséquence, la ou les variables de sortie sont aussi des variables aléatoires, que des simulations répétées en tirant aléatoirement les valeurs des variables d’entrée permettraient de trouver la distribution des variables de sortie. 3 

Modèle à base physique 

C’est un modèle basé uniquement sur des équations de la physique.

 Modèle analytique 

C’est un modèle pour lequel les relations entre les variables de forçage sont établies par analyse des séries de données mesurées. 

Modèle empirique Dans le cas de modèle empirique, on fixe à priori les fonctions reliant les variables (fonctions polynomiales par exemple) et résultent de nombreuses expériences.

Modèle retenu dans cette étude

 Dans notre étude, nous adoptons le modèle à base physique 

Spécification

 La modélisation se distingue par l’établissement des lois physiques entre les grandeurs du modèle et la résolution de celles-ci si bien qu’on parle souvent de modélisation physique au lieu de modélisation mathématique.

Organigramme général de la modélisation à base physique 

Avant de dresser celui-ci, nous identifions les notions introduites dans la section 2.

Identifications des variables d’entrée et variables de sortie 

Variables d’entrée et variables de sortie 

Dans la plupart des cas, il n’y a pas de variables d’entrée. En effet, plus souvent, les lois physiques aboutissent à des EDP et la résolution de celles-ci nécessite des conditions aux limites et initiales (Equation aux Dérivées Partielles). 

Variables d’état 

Les variables d’état sont les quotients entre les grandeurs et dont la fluctuation dans l’espace et dans le temps sont négligeables. L’opération qui détermine ces variables d’état s’appelle linéarisation du modèle.