Observation pour les systèmes non linéaires avec estimation des paramètres

Introduction

On ne peut pas parler de la non linéarité sans comprendre ce que l’on attend par la linéarité. En effet, dans les chapitres précédents, nous avons présenté des résultats obtenus pour des systèmes dynamiques linéaires. On définit la linéarité par deux propriétés fondamentales et coexistantes qui sont la proportionnalité et l’additivité. Selon les mathématiciens, par exemple un polynôme est dit linéaire s’il est strictement de degré 1. Mais qu’il y ait des formules mathématiques caractérisant un processus ou non, s’il l’on peut lui appliquer à la fois la proportionnalité et l’additivité entre les causes et leurs, alors on peut dire que l’on est dans un domaine linéaire. En revanche, il existe plusieurs exemples de systèmes dynamiques qui échappent à cette propriété de proportionnalité entre les causes et leurs effets. Si l’on prend par exemple l’énergie libérée lors d’un choc entre deux véhicules, les dégâts qui s’en suivent sont énormes et ne sont pas proportionnels à la vitesse des deux véhicules mais au carré de ces vitesses. D’autres exemples d’une forte non linéarité sont les effets de seuil. Un système est donc considéré comme étant non linéaire s’il ne possède pas les propriétés d’un système linéaire, c’est-à-dire les propriétés de proportionnalité et d’additivité. 97 Observation pour les systèmes non linéaires avec estimation des paramètres 98 CHAPITRE 5. Observation pour les systèmes non linéaires avec estimation des paramètres Les systèmes non linéaires peuvent être regroupés en plusieurs classes (systèmes non linéaires affines, systèmes dynamiques incertains, systèmes chaotiques, …). Dans ce chapitre, nous nous intéressons aux réseaux de systèmes dynamiques non linéaires et plus précisément aux réseaux de systèmes dynamiques avec des paramètres inconnus.

Estimateur en temps fini

En se basant sur les résultats des investigations menées dans la section précédente, différents observateurs peuvent être réalisés pour l’estimation de z. Notons aussi que l’estimation de z peut être garantie non seulement si l’Algorithme 5.1 se termine avec succès mais aussi si les fonctions gi définie dans (5.11) sont non nulles. Supposons que le Théorème 5.3 est satisfait pour le système (5.3). En se basant sur la Définition 5.1, il est alors possible de calculer algébriquement θ comme une fonction de la sortie y du système considéré et d’un certain nombre de ses dérivées y,˙ y,…,y ¨ (l) . Selon la Proposition 5.1 et la relation (5.11), il est clair qu’un problème de la singularité peut apparaître dans (5.10) si g(y,y,…,y ˙ (l) ) passe par zéro à un instant t donné (perte d’observabilité locale). Plusieurs chercheurs ont proposé différentes techniques pour surmonter ce problème de singularité. Dans [Langueh et al., 2015], la méthode de l’immersion a été proposée et consiste augmenter la dimension de la matrice d’observabilité avec un état virtuel dont la dynamique est nulle. Une autre méthode permettant de surmonter ce problème est l’imposition de la condition d’une excitation persistante. Définition 5.3. (Excitation persistante)[Shimkin et al., 1987]. Pour l’équation (5.10), le vecteur des fonctions g(y,y,…,y ˙ (l) ) est considéré comme étant une excitation persistante si et seulement si il existe des constantes positives 1 et T telles que pour tout t ≥ 0, Z t t−T g(y,y,…,y ˙ (l) )g T (y,y,…,y ˙ (l) )ds > 1Iγ où T représente la période d’excitation de g(y,y,…,y ˙ (l) ). Il est bien connu que différentes approches peuvent être utilisées pour estimer les paramètres si la condition d’excitation persistante est satisfaite. L’une de ces méthodes qui paraît la plus simple est la méthode dite des moindres carrés [Xia, 2003]. Une autre façon d’estimer les paramètres inconnus consiste à utiliser l’algorithme adaptatif [Marino et al., 1995a] ou encore l’algorithme du gradient normalisé [Xia, 2003]. Ces méthodes ne peuvent fournir qu’une convergence asymptotique. Dans cette section, nous proposons une nouvelle approche basée sur les modes glissants pour estimer les paramètres en temps fini (convergence non asymptotique).