Problème modèle d’écoulement diphasique

Problème modèle d’écoulement diphasique

Considérons un fluide diphasique composé d’une phase aqueuse notée w et d’une phase hydrocarbure notée o s’écoulant dans un milieu poreux. L’approche classique de modélisation d’un écoulement diphasique en milieu poreux se base sur l’application de la loi de Darcy [Dar56] pour chaque phase α ∈ {w, o} avec des facteurs adimensionnels krα devant la perméabilité k, appelés perméabilités relatives des phases, qui tiennent compte de la réduction de section de passage due à la présence des phases. Pour des fluides incompressibles, les équations décrivant la conservation du volume poreux et du volume des phases, la conservation de la quantité de mouvement

Définition du maillage et notations 

Soit Kh un ensemble fini de polyèdres non vides, ouverts et disjoints formant une partition de Ω telle que h = maxk∈Kh hk où hk est le diamètre de l’élément k ∈ Kh. L’ensemble Kh forme donc un maillage de 32 2.2. Définition du maillage et notations Ω dont les éléments k ∈ Kh sont les mailles. On définit Nh le nombre de mailles dans le maillage Kh. De même, on note Nh l’ensemble de nœuds et Fh l’ensemble des faces du maillage. On définit Nh,k l’ensemble des nœuds n ∈ Nh qui se trouvent sur le bord de la maille k ∈ Kh. De plus, on définit F i h l’ensemble des faces internes du maillage

Schéma IMPES

 On présente ici un schéma numérique classique de résolution du problème (2.6) sur le maillage fin Kh visant à nous fournir des résultats de référence. En particulier, on utilise le schéma IMPES (IMplicit Pressure, Explicit Saturation [AS79], [SGJ61] et [SZC59]) qui consiste à découpler les résolutions en pression et saturation. Le principe de ce schéma est d’effectuer une intégration en temps de type Euler en choisissant d’être implicite en pression et explicite en saturation

 Schéma IMPIMS

 Dans cette partie, on présente le schéma IMPIMS (IMplicit Pressure, IMplicit Saturation [Far98] et [Coa00]). Comme pour le schéma IMPES, les résolutions en pression et saturation sont découplées. Dans ce schéma l’intégration en temps est aussi de type Euler, la pression est toujours implicite mais la saturation est implicitée pour calculer le flux fractionnaire.

Résultats numériques 

Tous les résultats présentés dans ce paragraphe ainsi que ceux du paragraphe 5.4 ont été obtenus à partir d’un code prototype écrit en C++ basé sur la plate-forme Arcane [GL09]. Plus de détails sur cette plate-forme et notre implémentation sont présentés au chapitre 6. 2.5.1 Présentation des cas étudiés Présentation du cas SPE 10 Pour comparer les différents schémas de discrétisation du modèle Dead-Oil introduit dans ce manuscrit, nous considérons le cas présenté dans [CB01] que nous désignerons par cas SPE 10. Ce cas a été introduit pour comparer différentes méthodes d’upscaling. Il est composé de 60 mailles dans la direction x, 220 mailles dans la direction y et 85 mailles dans la direction z. Cela correspond à un total de plus d’un million de mailles. Chaque maille est un parallélépipède de taille 6,096 m dans la direction x, 3,048 m dans la direction y et 0,6096 m dans la direction z .Nous considérons également un deuxième cas réservoir que nous dénommons cas fracturé. Ce cas modélise un réservoir fracturé pour lequel les fluides se déplacent majoritairement le long des fractures. Ce cas comporte 200 mailles dans la direction x et 100 mailles dans la direction y. Chaque maille est un carré de 100 m de côté. Le champ de perméabilité est très hétérogène et ses valeurs sont très différentes selon la direction considérée (voir figure 2.2).