Quelques extensions du théorème de Gelfand-Mazur

Algèbre à puissances associatives

Définition 1.1.4. Soit A une K-algèbre et a ∈ A. Les puissances à gauche de a sont définies par : a 1 = a, a n+1 = aan ∀n ∈ N ? Ainsi a n+1 = Lan (a) pour tout n ≥ 1 Les puissances à droite sont définies de la mˆeme manière. Définition 1.1.5. Une K-algèbre A est dite à puissances associatives si pour tout a ∈ A et pour tout n, m ∈ N on a a na m = a n+m Exemples 1.1.2. i. Toute algèbre associative est à puissances associatives. ii. Une algèbre commutative n’est pas nécessairement à puissances associatives. L’algèbre de Mac Clay ? C ayant pour espace vectoriel C et pour proiduit x  y = x y est commutative mais n’est pas à puissances associatives. iii. Soit A une algèbre à puissances associatives, les puissances dans A et dans A+ sont les mˆemes. A+ est donc commutative et à puissances associatives. Le résultat suivant, dˆu à Albert, donne des conditions minimales d’associativité des puissances. Proposition 1.1.1. Une K-algèbre A est à puissances associatives si et seulement si xx2 = x 2x et x 4 = x 2x 2 Proposition 1.1.2. Soit A une K-algèbre vérifiant (x, x, x) = 0 pour tout x ∈ A. Alors les trois proposition suivantes sont équivalentes : i. A est à puissances associatives ii. (x, y, xz + zx) + (x, z, xy + yx) + (y, x, xz + zx) + (x, x, yz + zy) + (z, x, xy + yx) + (y, z, x2 ) + (z, y, x2 ) = 0 iii. (xz + zx, y, x) + (xy + yx, z, x) + (xz + zx, x, y) + (yz + zy, x, x) + (xy + yx, x, z) + (x 2 , z, y) + (x 2 , y, z) = 0 12 Preuve : 1) ⇒ 2) est établi dans ([Scha 66] P . 129) Pour 2) ⇒ 1) on fait x = y = z et on utilise la note ci dessous En fin 1) ⇔ 3) s’obtient de la mˆeme manière. Note 1.1.1. Dans ([A 48] p .554) Albert découvrit un ensemble minimal d’identité assurant l’associativité des puissances et prouva qu’une K-algèbre A est à puissances associatives si et seulement si elle satisfait aux identitées (x, x, x) = 0 = (x, x, x2 ) pour tout x ∈ A. Notons que ces identitées entaˆınent (x 2 , x, x = 0). Corollaire 1.1.1. Soit A une K-algèbre à puissances associative, alors pour tout entier m ≥ 2 et pour tout x ∈ A, Lxm et Rxm appartiennent à la sous algèbre de EndK(A) engendré par Lx, Rx, Lx2 et Rx2 et on a i. 3Rxm+1 = (2Rmm + 2Lxm − LxLxm+1 − Lxm+1Lx)(Lx + Rx) + (2Rx2 − R2 x )(Lxm−1 + Rxm−1 ) − 2LxRxm − Lxm−1Rx2 (I) ii. 3Lxm+1 = (2Lxm + 2Rxm − RxRxm−1 − Rxm−1Rx)(Lx + Rx) + (2Lx2 − L 2 x )(Lxm−1 + Rxm−1 ) − 2RxLxm − Rxm−1Lx2 (II) Preuve : Les deux identitées (I) et (II) s’obtiennent des identitées ii) et iii) de la proposition 1.1.2 en faisant z = x m−1 . La première proposition s’obtient alors des identitées (II) et (III) par récurence sur m. On montre dans ([Scha 66] lemma 5.3) le résultats interessant suivant : Lemme 1.1.2. Soit A une K-algèbre à puissances associatives et sans diviseurs de zéro. Si A contient un idempotent non nul e, alors A est unitaire d’unité e. Définition 1.1.6. (Algèbre algèbrique) Soit A une K-algèbre à puissances associatives et soit K[X] l’algèbre des polynˆomes à une indéterminée à coéfficients dans K. Un él´wment a ∈ A est dit algèbrique s’il existe un polynˆome P ∈ K[X] − {0} telque P(a) = 0, ce qui équivaut à dire que la dimension de la 13 K[X]-algèbre K[X]A[a] est finie. L’algèbre A est dite algèbrique si tous ces élément sont algèbriques. 1.1.2 Algèbre alternative Définition 1.1.7. Une K-algèbre A est dite alternative si elle vérifie les deux identitées suivantes : i. (x, x, y) = 0 ( alternativité à gauche) ii. (y, x, x) = 0 (alternativité à droite) pour tout x, y ∈ A. Ce qui est équivalent en terme d’opérateur de multiplication à gauche et à droite à dire que Lx2 = L 2 x et Rx2 = R2 x Exemples 1.1.3. Toute algèbre associative est alternative Théorème 1.1.1. (Artin) Une algèbre A est alternative si et seulement si deux élément quelconque de A engendrent une sous algèbre associative ([Sc 66] p.29) Remarque 1.1.1. Toute algèbre alternative vérifie les identitées de Moufang suivantes : i.((zx)y)x = z((xy)x) identité à droite de Moufand ii.x(y(xz)) = ((xy)x)z identité à gauche de Moufand iii.x(yz)x = (xy)(zx) identité moyenne de Moufang Preuve : Montrons la première identitée ((zx)y)x − z((xy)x) = (zx, y, x) + (z, x, yx) = −(y, zx, x) − (z, yx, x) = −[y(zx)] + y[(zx)x] − [z(yx)x] + z[(yx)x] = −[y(zx) + z(yx)]x + y(zx2 ) + z(yx2 ) = −(y, z, x) + (yz)x 2 − (z, y, x2 ) + (zx)x 2 −[y(zx) + z(yx)]x = [(yz)x + (zy)x − y(zx) − z(yx)]x 14 = [(y, z, x) + (z, y, x)]x = 0 Car dans toute algèbre alternative A, l’application A × A × A → A (x, y, z) 7→ (xy)z − x(yz) est alternée ii. Mémoire de DESA de AHMED CHANDID iii. Se démontre facilement en utilisant les opérateurs de multiplication à gauche et à droite. 1.1.3 Algèbre flexible Définition 1.1.8. Une K-algèbre A est dite flexible si elle vérifie l’une des trois identitées suivantes : (x, y, x) = 0 (F1) [Lx, Rx] = 0 (F2) (x, y, z) + (z, y, x) = 0 (F3) Exemples 1.1.4. i. Toute algèbre alternative est flexible ii. Toute algèbre associative ou commutative est flexible. En particulier l’algèbre commutative de Mac Clay est flexible. On vérifie facilement qu’une algèbre flexible unitaire satisfaisant aux deux identités de moufang à gauche et à droite est alternative. 

Algèbre de Jordan

Définition 1.1.9. Une K-algèbre commutative A est dite de Jordan si elle satisfait l’identité (J) de Jordan suivante (x 2 , y, x) = 0 Remarque 1.1.2. Une K-algèbre A est dite de Jordan si et seulement si Lx = Rx et RxLx2 = Lx2Rx ∀ x ∈ A 15 Exemples 1.1.5. i. La symétrisation A+ d’une K-algèbre associative est de Jordan ii. Soit V un K-espace vectoriel muni d’une forme bilinéaire symétrique f, alors l’espace vectoriel K × V muni du produit (α, x)(β, y) = (αβ + f(x, y), αy + βx) est une K-algèbre de Jordan unitaire, appelée algèbre de Jordan associée à la forme bilinéaire symétrique f, notée J(V, f) Proposition 1.1.3. Toute K-algèbre de Jordan vérifie les deux identités suivantes : 2(x, y, zx) + (z, y, x2 ) = 0 (x, y, wz) + (w, y, zx) + (z, y, xw) = 0 1.1.5 Algèbre de Jordan non commutative Définition 1.1.10. Une K-algèbre flexible est dite de Jordan non commutative si elle vérifie l’identité (J) de Jordan. Exemples 1.1.6. Les algèbres associatives, de Jordan, alternatives ainsi que les mutations d’une algèbre de Jordan non commutative sont de Jordan non commutatives. Proposition 1.1.4. [J.68]. Soit A K-algèbre flexible. Alors A est de Jordan non commutative si et seulement si sa symétrisation A+ est de Jordan. Proposition 1.1.5. Soit A une K-algèbre de Jordan non commutative, alors A est à puissances associatives. De plus pour m ≥ 2 et pour tout x ∈ A, Lxm et Rxm appartiennent à la sous algèbre de EndK(A) engendré par Lx, Rx, Lx2 , Rx2 , et l’on a : i. Rxm+1 = Rxm(Lx + Rx) − UxRxm−1 ii. Lxm+1 = Lxm(Lx + Rx) − UxLxm−1 o`u Lx(Lx + Rx) − Lx2 = Ux = Rx(Lx + Rx) − Rx2 dans une algèbre flexible 16 1.1.6 Algèbre à puissances commutatives Définition 1.1.11. Une K-algèbre A est dite à puissances commutatives si la sous-algèbre KA[x] est commutative pour tout x ∈ A. Exemples 1.1.7. Toute algèbre à puissances associatives est à puissances commutatives. Définition 1.1.12. Une K-algèbre A est dite à puissances principales commutatives si xxn = x nx pour tout n ∈ N ? et pour tout x ∈ A Exemples 1.1.8. Toute algèbre à puissances commutatives est à puissances principales commutatives Définition 1.1.13. Une K-algèbre A est dite à puissance 3-associatives si elle vérifie l’identité xx2 = x 2x pour tout x ∈ A. On notera x 3 l’élément xx2 = x 2x Raffin prouva que tout ensemble commutatif d’une algèbre flexible engendre une sous-algèbre commutative [R. 50]. Ainsi les algèbres flexibles sont à puissances commutatives. Nous avons les résultats préliminaires suivants. Proposition 1.1.6. Soit A une K-algèbre à puissances 3-associatives. Alors A vérifie l’identité (x, x2 , x) = 0. Si de plus A est à puissances principales commutatives, alors les trois identités suivantes ont eu lieu : (x, x, x) = (x 2 , x, x2 ) = (x, x3 , x) = 0 Problème 1.1.1. Il est interessant d’avoir des conditons minimales de commutativité des puissances principales. Concrétement, on aimerait savoir si les trois identités (x, x, x) = (x 2 , x, x2 ) = (x, x3 , x) = 0 sont strictement indépendantes, c’est dire que deux quelconques d’entre elles n’entraˆınent pas la troixième, et suffissantes pour assurer la commutativité des puissances principales.