Raffinement de l’étalonnage et extension à la cartographie par ajout d’une régularisation spatiale

Étalonnage par apprentissage/correction

Les auteurs de [5, 128, 223] ont proposé des méthodes d’étalonnage à base de projection orthogonale pour un réseau de capteurs fixes à réponses affines (modèle gain/offset) et dont les mesures sont synchronisées. Celles-ci consistent à estimer les paramètres des capteurs de sorte que le signal reconstruit appartienne à un sous-espace S préalablement appris. L’algorithme proposé se décompose en deux étapes : dans un premier temps, une phase d’apprentissage permet l’estimation du sous-espace S dans lequel doit résider le signal observé par les capteurs. Dans un second temps, les capteurs sont étalonnés par projection sur leur espace nul, c.-àd. l’espace S? orthogonal à S, via PS?, la matrice de projection sur S?. La dimension du sous-espace S des données est supposée inférieure au nombre de capteurs présents, c.-à-d. les capteurs sur-échantillonnent le phénomène physique observé [5].

• étape d’apprentissage : l’apprentissage de la matrice PS? qui permet l’étalonnage de capteurs du réseau dans [5, 128, 223] est effectué en supposant que dans un premier temps des capteurs étalonnés fournissent directement les valeurs du phénomène physique observé. En construisant la matrice de données Y telle que sa i-ème colonne contient les mesures de tous les capteurs à un instant ti, alors l’apprentissage de PS? peut être réalisé par exemple par réduction de l’espace via une analyse en composantes principales (ACP) ou une analyse de Fourier des données [5].

• étape d’étalonnage : les capteurs du réseau vieillissant, ils nécessitent d’être régulièrement ré-étalonnés. En considérant un modèle de réponse affine, alors, le vecteur x(t) contenant les mesures de l’ensemble du réseau à un instant t donné, est lié au vecteur y(t) contenant les valeurs du champ physique aux emplacements des capteurs par la relation y(t) = diag(f1)x(t) + f0, 8t (2.8) où diag(f1) est la matrice diagonale dont le i-ème élément diagonal est le gain f1i associé au i-ème capteur et f0 est le vecteur dont l’élément f0i est l’offset du i-ème capteur. En utilisant la matrice PS? de projection sur S? alors PS? ·y(t) = PS? ·(diag(f1)x(t) + f0) = 0, 8t. (2.9)

En considérant plusieurs échantillons, c.-à-d. plusieurs vecteurs de mesures pris à différents instants ti et en centrant les mesures, Balzano et Nowak [5] parviennent à remplacer les offsets dans (2.9) par une expression ne dépendant plus que des gains. Les gains des capteurs doivent donc vérifier la projection nulle des données sur S?, et peuvent être estimés par moindres carrés [5], décomposition en valeurs singulières (SVD pour Singular Value Decomposition) [5], ou par moindres carrés totaux [128]. Une fois les gains estimés pour chaque capteur, en supposant connaitre la valeur moyenne ¯x du phénomène physique au cours du temps, l’offset peut être estimé en suivant les développements ci-dessous : 1 T XT i=1 f1x(ti) + f0 _ ¯x, (2.10) ) f0 _ ¯x − 1 T XT i=1 f1x(ti), (2.11) où T est le nombre de échantillons disponibles pour l’étalonnage. Cette méthode d’étalonnage par projection montre de bonnes performances dans l’application considérée par ses auteurs, cependant, elle nécessite une configuration particulière du réseau de capteurs, ainsi qu’un accès à une base de mesures étalonnées pour permettre l’apprentissage du sous-espace du signal et son orthogonal. Dans [5, 128], les auteurs proposent également une version informée de cette méthode en supposant que pendant la phase d’étalonnage certains capteurs du réseau sont étalonnés. Plusieurs extensions de ces travaux ont été proposées, dans [223], les auteurs étendent l’approche de Balzano et al. pour l’estimation de la dérive des capteurs, en incluant un filtrage de Kalman et proposent également dans [221] de l’apprentissage profond (ou deep learning) pour l’apprentissage du sous-espace. Dans [55], nous avons étendu [5] et [128] en proposant une version robuste aux valeurs aberrantes. Notre approche consiste en un pré-traitement à base d’ACP robuste [126] pour filtrer les données. Ces travaux ont été réalisés en début de thèse. Cependant, nous nous sommes aperçus a posteriori que nous ne pourrions pas bénéficier de capteurs pré-étalonnés en pratique dans le projet OSCAR, ce qui limitait l’intérêt de telles approches. Aussi, comme ces travaux ne constituent pas le coeur de la thèse, ils sont présentés en annexe A.

Micro-étalonnage

La majorité des méthodes de micro-étalonnage pour les réseaux de capteurs mobiles font intervenir à la fois des données de capteurs à étalonner mais également des données de capteurs de référence et exploitent la définition de rendez-vous 2.3.

Étalonnage par références directes Dans [143], les auteurs considèrent un réseau de capteurs mobiles effectuant des mesures sur une zone où évoluent également des capteurs de référence étalonnés. Lorsqu’un capteur à étalonner effectue une mesure dans un voisinage spatio-temporel proche d’un capteur de référence, alors ils sont en rendez-vous, et sont supposés observer le même phénomène physique. Pour des capteurs suivant un modèle d’offset, lorsqu’un capteur effectue une mesure en rendez-vous avec une référence, la relation suivante doit être vérifiée : x(t)REF = x(t) = y(t) + f0, (2.21) où x(t)REF est la valeur du phénomène physique fournie par la référence, x(t) est la valeur du phénomène physique reconstruite à partir de la donnée de sortie y(t) du capteur, et f0 est son offset. Si f0 n’est pas parfaitement déterminé, alors la valeur du phénomène physique reconstruite n’est pas rigoureusement égale à la valeur du capteur de référence, et l’équation précédente est biaisée. Les auteurs de [143] proposent une méthode d’étalonnage permettant de corriger l’offset d’un capteur à partir du biais de mesure, constaté lors d’un rendez-vous avec une référence. L’utilisation de mesures de références pour l’étalonnage de capteurs mobiles est une idée d’autant plus intéressante qu’en pratique, les réseaux de capteurs mobiles bas-coût qui doivent être régulièrement ré-étalonnés sont souvent déployés en renforcement d’infrastructures existantes, constituant des points de référence. Cependant, l’approche proposée dans [143] suppose que chacun des capteurs à étalonner rencontrent fréquemment des références autour desquelles ils effectuent des mesures, ce qui est une hypothèse difficilement vérifiable dans certaines applications, par exemple en mobile crowdsensing.

Approche multi-sauts

Dans l’application visée dans [85], des capteurs environnementaux ont été placés sur un réseau de tramways. Tout au long de la journée, les mesures brutes, c.-à-d. non étalonnées, issues des différents capteurs sont datées, géolocalisées et collectées. À ces mesures de capteurs mobiles viennent s’ajouter des mesures de référence issues de capteurs fixes précis et préétalonnés répartis à différents endroits le long des lignes de tramway. La méthode d’étalonnage proposée exploite alors les informations fournies par la mobilité des capteurs ainsi que les données de référence des stations fixes. En particulier, l’approche décrite exploite les rendezvous entre les capteurs mobiles à étalonner et les capteurs de référence.

Grâce à la configuration particulière du réseau de capteurs mobiles utilisé ici, c.-à-d. grâce au passage régulier des tramways à proximité des capteurs de référence, l’accumulation de mesures en rendez-vous entre tous les capteurs (mobile/mobile et mobile/référence) est assurée. Ces rendez-vous ont alors permis aux auteurs de [85] de proposer une approche d’étalonnage dite multi-sauts étalonnant un à un l’ensemble des capteurs du réseau. Cette approche en trois étapes répétées jusqu’à étalonnage de l’ensemble du réseau consiste à :

Table des matières

Table des figures
Liste des tableaux
Liste des algorithmes
Table des sigles et acronymes
1 Introduction générale
1.1 Contexte
1.2 Objectifs
1.3 Plan
2 État de l’art en étalonnage de capteurs
2.1 Introduction
2.2 Modèles d’étalonnage de capteurs
2.3 Méthodes d’étalonnage
2.3.1 Les approches de type régression linéaire/non-linéaire
2.3.2 Étalonnage par apprentissage/correction
2.3.3 Les approches non-supervisées ou faiblement supervisées
2.3.3.1 Macro-étalonnage
2.3.3.2 Micro-étalonnage
2.4 Conclusion
3 État de l’art en factorisation matricielle
3.1 Introduction
3.2 Critères et contraintes usuelles en NMF
3.2.1 Critères usuels d’attache aux données
3.2.1.1 La norme de Frobenius
3.2.1.2 Divergence de Kullback-Leibler
3.2.1.3 Divergence d’Itakura-Saito
3.2.1.4 Les divergences paramétriques
3.2.1.5 Critère pondéré
3.2.1.6 Prise en compte de structures dans le critère
3.2.2 Les contraintes vues comme des pénalisations
3.2.2.1 Pénalisations d’évolution lente
3.2.2.2 Pénalisations de lissage
3.2.2.3 Pénalisations de parcimonie
3.2.2.4 Pénalisations douces d’égalité
3.2.2.5 Pénalisations de faible rang
3.2.3 Autres pénalisations : contraintes de bornitude
3.2.4 Unicité et exactitude de la NMF
3.3 Optimisations usuelles pour les algorithmes alternés
3.3.1 Méthode heuristique
3.3.2 Descente de gradient
3.3.3 Approche Majoration-Minimisation (MM)
3.3.4 Méthode par moindres carrés alternés (ANLS)
3.4 Méthodes « historiques » de NMF
3.5 Méthodes de NMF pour les problèmes de grandes dimensions
3.5.1 Méthodes de NMF accélérées
3.5.1.1 Méthode de NMF par mises à jour itératives alternées
3.5.1.2 NMF par gradient de Nesterov
3.5.1.3 Méthode de NMF aléatoire (Randomized NMF)
3.5.1.4 NMF distribuée
3.5.2 NMF pour flux de données
3.5.3 Co-factorisation
3.5.4 Factorisation tensorielle
3.6 Cas des données manquantes
3.7 Conclusion
4 Méthodes de NMF informées pour l’étalonnage d’un réseau de capteurs mobiles à réponse affine
4.1 Définitions et hypothèses
4.2 Mise en place de l’étalonnage par factorisation
4.2.1 Écriture matricielle du problème d’étalonnage
4.2.2 Prise en compte des données manquantes
4.2.3 Contrainte de non-négativité
4.2.4 Prise en compte de données de référence
4.2.5 Conditions nécessaires à l’étalonnage
4.3 Une première approche d’étalonnage par complétion de matrice (NMF/C-Cal)
4.4 Étalonnage de capteurs par factorisation matricielle informée
4.5 Régularisation par utilisation de données constructeur
4.6 Initialisation des méthodes
4.7 Conclusion
5 Méthodes de Semi-NMF informées pour l’étalonnage d’un réseau de capteurs mobiles non-linéaires
5.1 Hypothèses et introduction de structures dans les matrices facteurs
5.2 Étalonnage par complétion
5.3 Étalonnage par factorisation matricielle informée
5.3.1 Mise à jour de la matrice de Vandermonde
5.3.2 Mise à jour du deuxième facteur
5.4 Extension à la régularisation par utilisation de données constructeur
5.5 Initialisation et astuces algorithmiques
5.6 Conclusion
6 Étude de performances
6.1 Conditions de simulation
6.1.1 Sélection des capteurs
6.1.1.1 Pour le modèle affine
6.1.1.2 Pour le modèle non-linéaire
6.1.2 Simulation d’une scène et d’une matrice de données
6.1.3 Discussion sur les paramètres et les critères de performance
6.2 Performances sur le modèle affine
6.3 Performances sur le modèle non-linéaire
6.4 Conclusion
II De l’étalonnage à la reconstruction de champs physiques
7 Raffinement de l’étalonnage et extension à la cartographie par ajout d’une régularisation spatiale
7.1 État de l’art en estimation de données manquantes
7.1.1 Les approches d’estimation de données discrètes
1.1 Interpolation aux K plus proches voisins (KNN)
7.1.1.2 Approche barycentrique d’estimation de donnée
7 1.3 Estimation de données par a priori de parcimonie
7.1.2 Les approches basées sur l’analyse de données fonctionnelles
7.1.2.1 Estimation de données par régression
7.1.2.2 Interpolation par calage de fonctions
7.1.3 Méthodes d’estimation de données à base de modèle
7.1.3.1 Méthodes basées sur la mécanique des fluides
7.1.3.2 Les modèles intégraux
7.1.3.3 Le modèle analytique gaussien
7.1.3.4 Modèle LUR
7.1.4 Les approches géostatistiques
7.2 Étalonnage par factorisation matricielle avec contrainte de décomposition parcimonieuse
7.3 Régularisation par introduction d’un modèle
7.3.1 Modèle polynômial
7.3.2 Utilisation d’un modèle géostatistique : le Krigeage
7.4 Conclusion
8 Étude de performances des approches régularisées
8.1 Illustration de l’apport d’une régularisation spatiale
8.1.1 Comparaison des approches SpIN-Cal et IN-Cal
8.1.2 Performances globales de SpIN-Cal et influence du paramètre de régularisation
8.2 Comparaison des approches régularisées sur un nouveau jeu de données
8.2.1 Simulations des données
8.2.2 Étude de performances des approches IN-Cal, SpIN-Cal, PolIN-Cal et KIN-Cal
8.3 Conclusion
9 Conclusion générale
9.1 Conclusion
9.2 Perspectives
A Méthode robuste d’étalonnage de capteurs fixes
B Méthode robuste de NMF à base de divergence paramétrique et de contrainte de somme
C Méthode accélérée de NMF avec données manquantes
Bibliographie