Cours réponse sismique de l’oscillateur à un degré de liberté, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

REPONSE SISMIQUE DE L’OSCILLATEUR A UN DEGRE DE LIBERTE

INTRODUCTION
Dans les chapitres précédents, on s’est intéressé à la réponse d’un oscillateur à un degré de liberté soumis à des sollicitations appliquées directement à la masse M. Une autre forme de sollicitation est celle constituée par un mouvement du support. C’est en particulier le cas de sollicitations provenant par le sol comme les vibrations ambiantes ou les sollicitations sismiques; dans ce cas, le support de l’oscillateur simple représente le sol. Ce chapitre est plus particulièrement consacré à l’étude de la réponse sismique puisque la réponse aux vibrations ambiantes relève du domaine de la dynamique stochastique.
On rappelle brièvement qu’une sollicitation sismique provient d’une rupture s’initiant dans le manteau terrestre; cette rupture donne naissance à des ondes qui se propagent dans le milieu et atteignent éventuellement la surface du sol où elles se manifestent par une vibration ressentie dans les trois directions de l’espace. Les appareils enregistreurs, les sismographes, recueillent ces vibrations sous la forme d’accélérations du sol en fonction du temps. C’est sous cette forme que la sollicitation du support est définie dans ce chapitre.

MISE EN EQUATION

La figure 4.1 schématise le système à étudier. La masse M repose sur un support soumis à une accélération y ( t) fonction du temps. On supposera, dans un premier temps, que l’accélération y(t) est connue par sa variation en fonction du temps.
La masse est reliée à son support par un élément développant une force F ( u , u) fonction du déplacement et de la vitesse relatifs de la masse par rapport à celui ci. On considère que cette liaison est de type viscoélastique linéaire et s’écrit :
F = k u + c u
où u est le déplacement de la masse dans un référentiel lié au support.
La force d’inertie s’exerçant sur la masse est égale au produit de la masse par l’accélération absolue de celle-ci.
Dénotant v le déplacement de la masse dans un référentiel fixe, la règle de composition des mouvements s’écrit :
v = u + y
où y est le déplacement du support.
L’équilibre du système s’obtient en écrivant la nullité de la résultante des efforts, soit :
f_S + f_D + f_I = 0 qui en remplaçant les efforts par leurs expressions respectives devient : M ( u + y ) + c u + k u = 0
En comparant l’équation (4.5) à l’équation (2.27) du chapitre 2, on constate que la réponse sismique de l’oscillateur est analogue à sa réponse lorsqu’il est sollicité directement en introduisant un chargement équivalent :
p _eff ( t) = −M y ( t)

REPONSE TEMPORELLE DE L‘OSCILLATEUR

L’équivalence donnée par l’équation (4.6) indique que les solutions obtenues au chapitre 2 restent applicables en remplaçant p(t) par − My(t).
Exemple :
Considérons l’accélérogramme enregistré à la station de Lake Hughes (composante E-W) pendant le séisme de Northridge en 1994 (figure 4.3) et examinons la réponse d’un oscillateur de pourcentage d’amortissement critique fixe, égal à 2%, et de période propre, T, variable. Cette réponse, calculée par l’intégrale de Duhamel (4.8) est donnée sur la figure 4.4.
L’examen de la figure 4.4 montre que l’amplitude, la durée et la forme du signal dépendent fortement de la période propre de l’oscillateur. Celui-ci répond de façon quasi harmonique avec une période égale à celle de l’oscillateur. Ce résultat est très général pour une sollicitation possédant un large contenu fréquentiel et peut être démontré par la théorie des vibrations aléatoires.
On observe également que parmi les trois oscillateurs, celui avec la période la plus longue possède la réponse en déplacement la plus élevée. Il ne faut cependant pas faire une règle générale de cette constatation qui n’est valable que pour une certaine gamme de périodes, comme on le verra au paragraphe suivant. La comparaison des réponses pour T = 0.5 s et T = 1 s dément d’ailleurs cette proposition.
La figure 4.5 présente la réponse de l’oscillateur de période fixe égale à 0.5 s et de pourcentage d’amortissement critique variable entre 0% et 5%. Pour le système non amorti, au bout d’une durée correspondant à la phase transitoire de la réponse, la réponse devient stationnaire avec une amplitude constante, la plus élevée des trois systèmes étudiés. Pour un amortissement non nul l’amplitude maximale de la réponse diminue et le mouvement s’atténue d’autant plus rapidement après la phase d’excitation forcée (t>10-15s) que le pourcentage d’amortissement critique est élevé. On notera également, qu’hormis le cas ξ = 0, les réponses présentent une certaine similarité.

CALCUL DES EFFORTS

Une fois la réponse de l’oscillateur déterminée, par exemple par l’équation (4.8), l’effort élastique dans le système s’obtient simplement par :
f_S ( t) = k u ( t)
L’expression de la raideur k en fonction de la masse de l’oscillateur et de sa pulsation propre permet d’écrire (4.9) sous la forme :
f = M ω² u ( t) = M A ( t)
où A(t) représente une accélération, appelée pseudo-accélération de l’oscillateur, à ne pas confondre avec son accélération. Sous la forme (4.10), on reconnaît que l’effort est donné par le produit de la masse par une accélération.
La pseudo-accélération A(t) de l’oscillateur est peu différente en valeur absolue de l’accélération absolue de la masse ; la différence provient des forces d’amortissement. Réécrivant l’équation (4.5) sous la forme :
( u + y ) = −ω² u − 2ξ ωu
on reconnaît l’accélération absolue (ÿ + ü) de la masse et sa pseudo-accélération ω² u . Ces deux grandeurs ne sont égales, et de signe opposé, que lorsque le pourcentage d’amortissement critique est nul.

1 Notions Générales
1.1 Introduction
1.2 Caractérisation des actions
1.3 Mise en équation d’un phénomène dynamique
1.4 Modélisation en dynamique
1.5 Méthodes de résolution
2 Oscillateur Linéaire à un degré de Liberté 
2.1 Définition
2.2 Loi de comportement de l’oscillateur
2.3 Equations de l’équilibre dynamique
2.4 Vibrations libres
2.5 Vibrations forcées
3 Oscillateur simple généralisé 
3.1 Introduction
3.2 Equation d’équilibre dynamique
3.3 Méthode de Rayleigh
4 Réponse sismique de l’oscillateur à un degré de liberté 
4.1 Introduction
4.2 Mise en équation
4.3 Réponse temporelle de l’oscillateur
4.4 Calcul des efforts
4.5 Réponse maximale de l’oscillateur
4.6 Spectres de réponse normalisés
5 Oscillateur non linéaire à un degré de liberté 
5.1 Introduction
5.2 Exemples de non-linéarité de comportement
5.3 Modélisation simplifiée du comportement non-linéaire
5.4 Coefficient réducteur d’efforts et ductilité
5.5 Mise en équation
5.6 Réponse temporelle de l’oscillateur
5.7 Réponse maximale de l’oscillateur
6 Oscillateur à N degrés de liberté
6.1 Introduction
6.2 Equation de l’équilibre dynamique
6.3 Structure et propriétés de la matrice de raideur
6.4 Structure et propriétés de la matrice de masse
6.5 Vibrations libres non amorties
6.6 Vibrations forcées non amorties
6.7 Vibrations forcées amorties
7 Réponse sismique de l’oscillateur à N degrés de liberté 
7.1 Introduction
7.2 Equation de l’équilibre dynamique
7.3 Décomposition modale
7.4 Solution temporelle
7.5 Calcul des efforts
7.6 Valeurs maximales de la réponse
7.7 Choix du nombre de modes
7.8 Modes rigides
7.9 Excitation multisupports
8 Vibrations des poutres droites 
8.1 Introduction
8.2 Equation de l’équilibre dynamique
8.3 Vibrations longitudinales des barres
8.4 Vibrations de torsion des poutres
8.5 Vibration de flexion – Cisaillement des poutres
9 Propagation d’ondes en milieu élastique tridimensionnel
9.1 Introduction
9.2 Mise en équation
9.3 Découplage des équations du mouvement
9.4 Ondes planes
9.5 Ondes monochromatiques planes
9.6 Réflexion – réfraction des ondes planes à un interface
9.7 Propagation d’une onde monochromatique SH plane
9.8 Ondes de surface
9.9 Ondes sphériques
10 Interaction sol structure 
10.1 Introduction
10.2 Illustration de l’effet de l’interaction sol-structure
10.3 Formulation de l’interaction sol structure
10.4 Méthodes de prise en compte de l’interaction sol-structure
10.5 Impédance d’une fondation superficielle
Bibliographie