Résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels

Sommaire: Résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels

I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.)
I-1-1 Définition
I-1-2 Propriétés
I-2 Loi de composition externe.
II- Structure d’espace vectoriel réel
II-1 Définition
II-2 Propriétés
III- Sous espaces vectoriels
III-1 Définition et propriétés
III-1-1 Définition
III-1-2 Propriétés
III-2 Intersection de sous espaces vectoriels
III-3 Somme de sous espaces vectoriels
IV- Combinaison linéaire – système générateur
IV-1 Combinaison linéaire
IV-2 Système générateur
V- Système libre – système lié
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VII- Base d’un espace vectoriel
VIII- Espace vectoriel de dimension fini

Extrait du résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels

I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.)
I-1-1 Définition
Définition : Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne de E toute application définie de E vers E , qui a tout élément ) , ( b a de E associe un élément c de E ,appelé composé de a par b . On note b a c ∗ = .
Exemples :
1) Dans { } 1 , 0 = E , on définit l’application ∗ par : b ab b a + = ∗
 ∗ n’est pas une L.C.I. : E ∉ = ∗ 2 , 2 1 1  On peut représenter la loi  » ∗  » par le tableau suivant :E ∉ = ∗ 2 , 2 1 1
2) Dans { } 1 , 0 = E , on définit l’application Τ par : ab b a − = Τ 1
 Τ est une L.C.I. de E : E ∈ = Τ = Τ = Τ 1 , 1 0 1 1 0 0 0 et E ∈ = Τ 0 , 0 1 1  On peut représenter la loi  » Τ  » par le tableau suivant :E xTy E y x ∈ ∈ ∀ , ,
3) Dans IR , l’addition et la multiplication sont des L.C.I.
4) Soit E un ensemble. Dans ) ( E P , l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I.
I-1-2 Propriétés
a) Associativité, Commutativité, Distributivité
i) Définitions
• La L.C.I. ∗ est dite associative si ) ( ) ( : ) , , (3c b a c b a E c b a ∗ ∗ = ∗ ∗ ∈ ∀
• La L.C.I. ∗ est dite commutative si a b b a E b a ∗ = ∗ ∈ ∀ : ) , (2
• La L.C.I. ∗ est dite distributive par rapport à Τ
ii) Exemples
2) Dans IR :
o L’addition et la multiplication sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Exemples :
• 0 est l’élément neutre pour l’addition dans IR
• 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans IR
• φ est l’élément neutre pour la réunion dans p(E)
• E est l’élément neutre pour l’intersection dans p E

……..

Si le lien ne fonctionne pas correctement, veuillez nous contacter (mentionner le lien dans votre message)
Résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels (1076 KO) (Cours PDF)
généralités sur les espaces vectoriels

Télécharger aussi :

Laisser un commentaire

Votre adresse e-mail ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *