Sommaire: Résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels

I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.)
I-1-1 Définition
I-1-2 Propriétés
I-2 Loi de composition externe.
II- Structure d’espace vectoriel réel
II-1 Définition
II-2 Propriétés
III- Sous espaces vectoriels
III-1 Définition et propriétés
III-1-1 Définition
III-1-2 Propriétés
III-2 Intersection de sous espaces vectoriels
III-3 Somme de sous espaces vectoriels
IV- Combinaison linéaire – système générateur
IV-1 Combinaison linéaire
IV-2 Système générateur
V- Système libre – système lié
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VII- Base d’un espace vectoriel
VIII- Espace vectoriel de dimension fini

Extrait du résumé de cours généralités sur les espaces vectoriels

I- Loi de composition interne et Loi de composition externe
I-1 Loi de composition interne (L.C.I.)
I-1-1 Définition
Définition : Soit E un ensemble. On appelle loi de composition interne de E toute application définie de E vers E , qui a tout élément ) , ( b a de E associe un élément c de E ,appelé composé de a par b . On note b a c ∗ = .
Exemples :
1) Dans { } 1 , 0 = E , on définit l’application ∗ par : b ab b a + = ∗

∗ n’est pas une L.C.I. : E ∉ = ∗ 2 , 2 1 1 
On peut représenter la loi  » ∗  » par le tableau suivant :E ∉ = ∗ 2 , 2 1 1
2) Dans { } 1 , 0 = E , on définit l’application Τ par : ab b a − = Τ 1

Τ est une L.C.I. de E : E ∈ = Τ = Τ = Τ 1 , 1 0 1 1 0 0 0 et E ∈ = Τ 0 , 0 1 1 
On peut représenter la loi  » Τ  » par le tableau suivant :E xTy E y x ∈ ∈ ∀ , ,
3) Dans IR , l’addition et la multiplication sont des L.C.I.
4) Soit E un ensemble. Dans ) ( E P , l’intersection ∩ et la réunion ∪ sont des L.C.I.
I-1-2 Propriétés
a) Associativité, Commutativité, Distributivité
i) Définitions
• La L.C.I. ∗ est dite associative si ) ( ) ( : ) , , (3c b a c b a E c b a ∗ ∗ = ∗ ∗ ∈ ∀
• La L.C.I. ∗ est dite commutative si a b b a E b a ∗ = ∗ ∈ ∀ : ) , (2
• La L.C.I. ∗ est dite distributive par rapport à Τ
ii) Exemples
2) Dans IR :
o L’addition et la multiplication sont des L.C.I. associatives et commutatives.
o La multiplication est distributive par rapport à l’addition.
Exemples :
• 0 est l’élément neutre pour l’addition dans IR
• 1 est l’élément neutre pour la multiplication dans IR
• φ est l’élément neutre pour la réunion dans p(E)
• E est l’élément neutre pour l’intersection dans p E

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