Extrait du cours les mathématiques pour commencer

Chapitre Premier LOGIQUE ET RAISONNEMENT
Comme toute autre science, les mathematiques sont exprimees, decrites et formulees avec  des mots du langage courant. Il est donc indispensable et imperatif d’utiliser les mots dans leur sens qui leur correspond en mathematiques, et qui peut etre different de leur sens dans la langue l’usage. D’autre part, l’organisation d’un texte mathematiques n’est pas celle d’un discours ordinaire; les appreciation vagues, qualitatives, suggestives, en sont exclues. Dans la langue mathematique, tout usage un peu abusif, toute phrase floue ou approximative, conduisent immediatement a des erreurs enormes, bien au-dela de la faute de logique.Tout ce qui ressemble a la verite, mais n’est pas verifie dans ses moindres details, est faux. L’etudiant qui souhaite aborder les etudes scientifiques dans de bonnes conditions, doit se preparer a un changement radical dans ses methodes de pense et de reflexion. L’essentiel du travail mathematique porte sur la manipulation de propositions. Par proposition on entend une affirmation – portant sur des objets mathematiques: points, nombres,etc.– a laquelle on peut attribuer clairement la valeur vraie ou bien la valeur fausse,par exemple “7 est un nombre premier” est une proposition vraie. Souvent les propositions contiennent des variables: nombre x, entier naturel n, : : :. Nous noterons alors une telle proposition P(x), P(n), : : : pour marquer la dependance de sa valeur de verite vis-a-vis de la variable. Par exemple “n est un multiple de 7” peut etre vraie ou fausse suivant la valeur de n.
1. L’ile de la sagesse !
Les habitants de cette ile sont soit sages, soit fous. Sachant qu’il y a cent habitants sur l’ile et que:
– Il y a au moins un sage parmi eux.
– Il y a au moins un fou parmi chaque couple d’habitants.
Combien de sages et de fous y a -t- il sur l’ile ?
Discussion:
S’il y a au moins deux sages dans l’ile, alors on y trouve un couple ne contenant pas de fous, ce qui contredit la deuxieme assertion. En utilisant la premiere assertion on deduit alors qu’il y a un sage et quatre-vingt-dixneuf fous sur l’ile. Ils doivent  s’amuser bien.
2. Moi, je n’aime pas les chapeaux
Messieurs Dupont,Durand et Dubois sont reputes pour leur intelligence. Le Maire de la ville, Monsieur Charpentier, decide alors, de les mettre a l’epreuve:
1-: Il envoie son assistant chercher cinq chapeaux, trois rouges et deux bleus, puis il met un chapeau sur la tete de chacun des trois messieurs et cache les chapeaux restant. Chacun des trois messieurs pouvait voir les chapeaux des autres mais pas le sien.Le Maire leur pose la question: “Est-ce que quelqu’un parmi vous connait la couleur de son chapeau ? ”. Une minute de silence est passee avant que Monsieur Dubois (le plus intelligent) trouve la couleur de son chapeau.
Quelle est la couleur du chapeau de Monsieur Dubois ?
2: Le Maire decide, alors, de les soumettre a une deuxieme epreuve, mais cette fois avec sept chapeaux ; deux rouges, deux jaunes et trois bleus. Il procede comme avant, et il leur pose la question suivante: “Est-ce que l’un de vous peut indiquer de fa¸con certaine une couleur (parmi les trois: rouge, jaune ou bleu), qui ne soit pas celle de son chapeau ?”.
3. Au village de Karo
Il etait une fois un village qui s’appelait Karo. Karo n’etait habite que par deux familles ;les Durand et les Dupont. Les Durand disaient toujours la verite, les Dupont mentaient toujours.
1: Un jour, deux habitants de Karo, A et B, se sont rencontres. A a dit “Au moins l’un de nous est Dupont ”. De quelles familles etaient A et B ?
2: Le jour d’apres, deux autres villageois, C et D discutaient en sortant d’un Bistro, et on a entendu C dire “Soit je suis un Dupont, soit D est Durand ”. De quelles familles etaient C et D ?
3: Trois habitants E, F et G de Karo, se sont rencontres, et E et F ont affirme:
E: “Nous sommes tous des Dupont ”.
F: “Il y a exactement un parmi nous qui soit Durand ”.
De quelles familles etaient E, F et G ?
4: Un jour de printemps, un voyageur a rencontre quatre villageois et il a demande au premier “Etes vous des Durand ou des Dupont ? ”. “Nous sommes tous des Dupont” affirma le villageois. Le second declara aussitot: “Non, un seul d’entre nous est Dupont ”. Le troisieme a dit alors “Ne les croyez pas, il y a exactement deux Dupont parmi nous ”. Quant au quatrieme, il affirma “Je suis un Durand ”. A-t-il dit la verite ?
5: Deux pas plus loin le meme voyageur rencontra K, L et M. K lui a dit “L et M sont de la meme famille”, alors le voyageur posa a M la question: “Est-ce que K et L sont de la meme famille ?”. Quelle reponse a-t-il obtenu ?

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