Analyse harmonique et fonctions d’ondes sphéroïdales

Introduction L’équation des ondes écrite dans un système de coordonnées sphéroïdales à ellipsoïde allongé donne naissance à des équations différentielles de second degré. Une de ces équations, qui est du type Sturm-Liouville, est de la forme d dx(1 − x 2 ) df dx + (χ − c 2x 2 )f = 0, x ∈ [−1, 1], (1) où f ∈ C2 ([−1, 1], R) et c est un paramètre réel positif. Pour des valeurs particulière χn (n = 0, 1 · · ·) de χ cette équation admet des solutions bornées qu’on note ψn,c. Ces fonctions sont appelées fonctions d’ondes sphéroïdales de l’ellipsoïde allongé. La motivation qui nous a conduit à étudier ces fonctions est le fait suivant : En étudiant la probabilité pour qu’une matrice aléatoire gaussienne n’ait aucune valeur propre dans un intervalle [−s, s] (s > 0), on arrive à la question d’évaluer le déterminant de Fredholm de l’opérateur intégral Qcf(x) = 1 π Z 1 −1 sin c(x − y) x − y f(y)dy. (2) On montre que l’opérateur intégral Qc commute avec l’opérateur différentiel Lc := d dx(1 − x 2 ) d dx − c 2x 2 , (3) par suite les fonctions propres de Qc sont les mêmes que celles de Lc. 1 Nous étudions dans cette thèse les valeurs propres et fonctions propres d’un opérateur différentiel, L, de la forme L := d dx(1 − x 2 ) d dx − q(x), (4) dont l’opérateur (3) est un cas particulier. Puis nous étudions les opérateurs qui commutent avec l’opérateur L. Finalement nous étudions le comportement asymptotique de ces fonctions propres pour les grandes valeurs de c. Nous ne sommes pas parvenus à évaluer ou à approximer le déterminant de Fredholm de l’opérateur intégral Qc. Nous projetons de poursuivre notre travail dans cette direction. Dans le premier chapitre nous rappelons des résultats de base sur les matrices aléatoires et les polynômes orthogonaux. En particulier nous rappelons les résultats de Mehta concernant la probabilité pour qu’un sous ensemble B de R ne contienne aucune valeur propre. Cette probabilité s’exprime à l’aide d’un opérateur intégral. L’étude asymptotique, pour les grandes dimensions, de cette probabilité conduit au déterminant de Fredholm de l’opérateur intégral Qc. Dans le chapitre 2 nous étudions les valeurs propres χn et les fonctions propres associées ψn de l’opérateur de Legendre perturbé (4) où q est une fonction continue sur [−1, 1] et paire. À l’aide d’un principe de maximum, nous montrons que χn ∼ n 2 . Nous montrons aussi que les fonctions propres ψn constituent un système total de l’espace C([−1, 1]) des fonctions continues sur [−1, 1] pour la topologie de la convergence uniforme. Les propriétés classiques d’entrelacement des zéros des polynômes de Legendre s’étendent aux zéros des fonctions propres ψn. Dans le chapitre 3 nous introduisons les translations généralisées Tx, (x ∈ [−1, 1]), associées 2 à l’opérateur différentiel L au sens de Delsarte. À l’aide d’un principe du maximum pour un problème aux limites hyperbolique, nous montrons que les translations généralisées sont des opérateurs positifs : si f ≥ 0 alors Txf ≥ 0. On en déduit qu’il existe une constante C telle que ∀n ∈ N, ∀x ∈ [−1, 1], |ψn(x)| ≤ C. Cette propriété de positivité de Tx permet de munir l’intervalle [−1, 1] d’une structure d’hypergroupe. Dans les chapitres 4 et 5, nous étudions le comportement asymptotique des fonctions propres ψn,c et Φn,c respectivement de l’opérateur (3) et de l’opérateur défini sur [0, +∞[ par : Lxf = −x d 2f dx2 − df dx + x(x + c)f. (5) Mais pourquoi cette étude asymptotique ? En effet, l’étude de ce qui se passe sur le demi-cercle de Wigner (voir [37]) d’abord dans la partie centrale du demi-cercle et ensuite dans le voisinage des extrémités de demi-cercle, nous mène à étudier après deux changements d’échelle les deux opérateurs intégraux suivant : Qcf(y) = Z 1 −1 sin c(x − y) π(x − y) f(x)dx (6) Gcf(y) = Z +∞ c Ai(x + y)f(x)dx. (7) Les opérateurs (6) et (7) commutent respectivement avec (3) et (5), donc ils ont respectivement les mêmes fonctions propres. Ainsi, dans le but de déterminer le comportement asymptotique, une fois pour c fixé et n large et vice-versa, des fonctions ψn,c et Φn,c, nous faisons appel à la méthode WKB qui nous donne une bonne approximation de ces fonctions. En effet, par des changements de variables et de fonctions, nous trouvons que les ψn,c ainsi que les Φn,c sont approchées par des fonctions de Bessel et des fonctions d’Airy. . Enfin, on a le comportement asymptotique des fonctions Φn,c(x) donné par le théorème suivant : Théorème 5 : Pour c > 0 fixé et n >> 1, les fonctions Φn,c se comportent comme suit : Φn,c(x) ∼    A1n √ χnsn(x)J0( √ csn(x)) (x(1−x(x+c)))1/4 si x ∈ [0, βn − 1/c], B1n χ 1/4 n ( √χntn(x))1/6Ai(−( 3 2 √χntn(x))2/3 ) (x(χn−x(x+c)))1/4 si x ∈]βn − 1/c, βn], C1n χ 1/4 n ( √χnτn(x))1/6Ai −( 3 2 √ χn(c)τn(x))2/3  (x(−χn+x(x+c)))1/4 si x > βn. (12) Où, sn(x) = Z x 0 r ρn(t) t dt, tn(x) = Z βn x r ρn(t) t dt, τn(x) = Z x βn r −ρn(t) t dt, avec ρn(x) = 1 − x(x + c) χn et A1n, B1n et C1n sont des constantes qui ne dépendent que de n. Dans le chapitre 6 nous illustrons les résultats trouvés dans les chapitres 4 et 5 par des exemples numériques pour des valeurs particulières du paramètre c et de l’entier n. Les chapitres 4 et 5 ont fait l’objet des deux publications : 1. Abderrazek Karoui et Mehrzi Issam, Asymptotic behaviors and numerical computations of the eigenfunctions and eigenvalues associated with the classical and circular prolate spheroidal wave functions. Applied Mathematics and Computation . 218 (2012) p 10871- 10888. 2. Abderrazek Karoui, Issam Mehrzi et Taher Moumni, Eigenfunctions of the Airy’s integral transform : Properties, numerical computations and asymptotic behaviors. Journal of Mathematical Analysis and Applications . 389 (2012) p 989-1005.

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