Bac ES Amérique.

Il est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Exercice 1 (4 points – Commun à tous candidats) Pour chaque question, une seule des réponses est exacte. Aucune justification n’est demandée. Barème : Une réponse juste rapporte 0,5 point, une réponse fausse enlève 0,25 point, l’absence de réponse n’enlève et ne rapporte aucun point. Si le total des points de l’exercice est négatif, la note est ramenée à 0. 1) Le prix d’un article subit une première augmentation de 20% puis une seconde augmentation de 30%. Le prix de l’article a augmenté globalement de : a) 25% b) 50% c) 56% Réponse c : prix * 1,20 * 1,30 = prix * 1,56 soit une augmentation de 56% 2) Le nombre réel est égal à : a) b) c) Réponse c : ln e2 = 2 ln e d’où ln e / ln e2 = ln e / (2 ln e) = 1 / 2 remarque ln e = 1 mais on n’a pas eu besoin de l’utiliser ici. 3) Le nombre réel est égal à a) b) c) Réponse b : e-3ln2 = eln(2^(-3)) = 2^(-3) = 2-3 = 1 / 23 = 1 / 8 ex et ln x sont des fonctions inverses l’une de l’autre donc : eln x = x et ln ex = x 2-3 = l’inverse de 23 et 23 = 2 au cube = 8 4) Une primitive F de la fonction f définie sur R par est définie par : a) b) c) Réponse a : dérivons a) F'(x) =-2(-1/2) e-2x = e-2x dérivons b) F'(x) = -2(1/2) e-2x = -e-2x dérivons c) F'(x) = -2(-2) e-2x = 4 e-2x remarque (eu)’ = u’ eu avec u = -2x 5) Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d’abscisse 0 est : a) b) c) Réponse a : La tangente passe par le point (0, e0=1), sa pente est e0=1 sont équation est y – 1 = 1 * (x – 0) soit y = x + 1 remarque y = ex a une pente de y’ = e différente de 1 y = ex n’est pas une droite 6) Soit f la fonction définie par . La fonction f est définie sur : a) b) c) Réponse b : f(x) n’est pas définie si ex – 1 = 0 soit ex = 1 soit x = 0 ex est définie sur R : x=0 est la seule valeur interdite 7) On considère la fonction f définie sur par . Dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction f admet au voisinage de : a) L’axe des abscisses comme asymptote horizontale b) La droite d’équation y = 2x comme asymptote oblique c) La droite d’équation y = 2x -1 comme asymptote oblique.

On considère la fonction logarithme népérien et la fonction f définie sur R par . On donne ci-dessous les courbes représentatives de ces deux fonctions dans un repère orthogonal. Dans R, l’équation ln admet : a) Une solution b) Deux solutions de signes contraires c) Deux solutions positives Réponse c : il y 2 solutions (les abscisses des intersections) et elles sont toutes positives remarque : aux deux x des intersections y = ln x = x2 – 2 l’équation est satisfaite pour les autres valeurs de x : ln x ≠ x2 – 2 Exercice 2 (4 points – Commun à tous candidats) Un pépiniériste a planté trois variétés de fleurs dans une prairie de quelques hectares : des violettes, des primevères et des marguerites. Il se demande s’il peut considérer que sa prairie contient autant de fleurs de chaque variété. Il cueille au hasard 500 fleurs et obtient les résultats suivants : Variétés Violettes Primevères Marguerites Effectifs 179 133 188 1) Calculer les fréquences fV d’une fleur de variété Violette, fP d’une fleur de variété Primevère et fM d’une fleur de variété Marguerite. On donnera les valeurs décimales exactes. Réponse : FV = 179/500 = 0,358 FP = 133/500 = 0,266 FM = 188/500 = 0,376 vérif : 0,358 + 0.266 + 0.376 = 1 OK 2) On note . Calculer . On donnera une valeur approchée arrondie au millième. Réponse : 500 * ((0,358 – 1/3)2 +(0,266 – 1/3)2 +(0,376 – 1/3)2) = 500 * 0.0069626667 = 3.4813333 = 3,481 remarque : avec la calculatrice, mettre des parenthèses : 500*( (0.358-(1/3))2 +(0.266-(1/3))2 +(0.376-(1/3))2 ) Si fV = fP = fM = 1/3 alors d2obs = 0 3) Le pépiniériste, ne voulant pas compter les quelques milliards de fleurs de sa prairie, opère sur ordinateur en simulant le comptage, au hasard, de 500 fleurs suivant la loi équirépartie. Il répète 2000 fois l’opération et calcule à chaque fois la valeur de . Ses résultats sont regroupés dans le tableau suivant : Intervalle auquel appartient [0 ; 0,5[ [0,5 ;1[ [1 ;1,5[ [1,5; 2[ [2; 2,5[ Nombre par intervalle 163 439 458 350 231 suite … [2,5 ; 3[ [3 ; 3,5[ [3,5 ;4[ [4 ;4,5[ [4,5; 5[ suite … 161 80 47 37 34 Par exemple: le nombre apparaît 163 fois dans l’intervalle [0 ; 0,5[. On note le neuvième décile de cette série statistique. Montrer que [2,5;3[. Réponse : D9 = (9/10)*2000 = 1800 cumuls : | 163 | 602 | 1060 | 1410 | 1641 | 1802 | 1882 | 1929 | 1966 | 2000 | 1800 appartient au 6ème intervalle : [2,5 ; 3[ remarque : le 6ème intervalle va de 1642 à 1802 il ne s’agit pas de fleurs cueillies, mais d’une simulation de cueillette sur ordinateur avec des fleurs équiréparties 4) En argumentant soigneusement la réponse, dire si pour la série observée au début, on peut affirmer avec un risque inférieur à 10% que « la prairie est composée d’autant de fleurs de chaque variété ». Réponse : 90% des résultats donne une fonction 500d2obs < 3 or l’échantillon de la première question = 3,481 sort de l’intervalle : le risque de ne pas être équiréparti est > 10% Si 10 personnes prennent un échantillon, 9 trouveront une fonction 500d2obs < 3 et 1 seule un échantillon > 3 Or le pépiniériste a pris 1 seul échantillon et se trouve dans le cas 1/10 : il y a 9/10 pour que la population ne soit pas homogène et 1/10 pour que la population soit homogène (et qu’il n’ait pas eu de chance).

Un nouveau bachelier souhaitant souscrire un prêt automobile pour l’achat de sa première voiture, a le choix entre les trois agences bancaires de sa ville : agence A, agence B et agence C. On s’intéresse au nombre de prêts automobiles effectués dans cette ville. Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Dans le tableau suivant figure le nombre de prêts effectués dans l’agence B lors des premiers mois de 2009. Mois Janvier Février Mars Avril Mai Juin Rang du mois 1 2 3 4 5 6 Nombre de prêts 56 44 42 52 50 56 1) En utilisant la calculatrice, donner une équation de la droite d’ajustement affine de y en x obtenue par la méthode des moindres carrés. Réponse : y = 0,8 x + 47,2 méthode : entrer les listes L1 et L2 puis stats RegLin -> a=47.2 et b=.8 r=.25226 attention ici, y = a + b x (cela se voit si l’on trace la droite parmi les points) 2) Combien de prêts automobiles peut-on prévoir pour le mois de décembre 2009 avec cet ajustement? On arrondira le résultat à l’entier le plus proche. Réponse : y = 0,8 * 12 + 47,2 = 56,8 soit 57 Partie B Après vérification, on a constaté que : * 20% des prêts sont souscrits dans l’agence A, * 45% des prêts sont souscrits dans l’agence B, * les autres prêts étant souscrits dans l’agence C. On suppose que tous les clients souscrivent à une assurance dans l’agence où le prêt est souscrit. Deux types de contrats sont proposés : le contrat tout risque, dit Zen et le deuxième contrat appelé Speed. * 80% des clients de l’agence A ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen. * 30% des clients de l’agence B ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Zen. * des clients de l’agence C ayant souscrit un prêt automobile, souscrivent une assurance Speed. On interroge au hasard un client d’une de ces trois banques ayant souscrit un contrat d’assurance automobile. On considère les évènements suivants : * A : « le prêt a été souscrit dans l’agence A », * B : « le prêt a été souscrit dans l’agence B », * C : « le prêt a été souscrit dans l’agence C », * Z : « le contrat d’assurance Zen a été souscrit », * S : « le contrat d’assurance Speed a été souscrit ». Dans tout l’exercice, on donnera les valeurs exactes. 1) Représenter la situation à l’aide d’un arbre pondéré. clients 0.2 A 0.8 Z 0.2 S 0.45 B 0.3 Z 0.7 S 0.35 C 5/7 Z 2/7 S 2) Déterminer la probabilité que le client interrogé ait souscrit un prêt automobile avec une assurance Zen dans l’agence A. Réponse : P(A inter Z) = 0.2 * 0.8 = 0.16 3) Vérifier que la probabilité de l’évènement Z est égale à 0,545. Réponse : P(Z) = P(A inter Z) + P(B inter Z) + P(C inter Z) = 0.16 + (0.45 * 0.3) + (0.35 * 5/7) = 0.545 OK remarque : P(Z) est la somme de tous les cas possibles contenant Z 4) Le client a souscrit une assurance Zen. Déterminer la probabilité que le prêt soit souscrit dans l’agence C. Réponse : PZ(C) = P(C inter Z) / P(Z) = (0.35 * 5/7) / 0.545 = 0.25 / 0.545 = 250 / 545 = 50 / 109 remarque : 109 est un nombre premier : divisible ni par 2, 3, 5, 7 PZ(C) = 0,459 est plus logique (la valeur exacte est ridicule) Exercice 4 (7 points – Commun à tous candidats) Les parties A et B sont indépendantes. Le candidat pourra utiliser les résultats préliminaires dans la partie A, même s’il ne les a pas établis.