Calcul du noyau d’agglomération

Approche de [Levich 1962] : la diffusion turbulente [Levich 1962] considère que, dans un écoulement turbulent, les particules portées par le tourbillon ont un mouvement chaotique semblable au mouvement brownien (cf. § IV.5.2. du chapitre 1). Il définit alors un coefficient de diffusion turbulent Dturb par analogie avec le coefficient de diffusion brownien Dp. On peut assimiler la taille du tourbillon à la distance que devra parcourir une autre particule pour entrer en collision avec la particule portée par le tourbillon. Pour une distance de séparation plus petite que l’échelle de Kolmogorov ~o’ l’équation 1.9. nous pennet d’écrire : (4.2.) Pourune distance de séparation plus grande que ~ ,l’équation 1.6. nous donne: o 1 Dtmb = <Xtmb(EmÂ-J3Â-r f3 et <X sont des constantes de proportionnalité. tmb tmb Nous pouvons remarquer que D ne dépend pas de la taille de la particule. tmb 

Calcul du flux de diffusion en l’absence d’interactions 

En l’absence de forces d’interaction entre les particules, le flux de diffusion de particules vers une particule de référence est donné par la loi de Fick, comme dans le cas brownien (équation 1.64.) selon: (4.4.) En régime quasi stationnaire: J(r) = J(a. + a) (4.5.) 1 J Les conditions aux limites de l’équation 4.5. sont: 170 N = 0 pour r = a. + a. 1 J N=N pourr= 00 o Pour des particules plus petites que ~ , la résolution de l’équation différentielle 4.5. on conduit à l’expression du noyau d’agglomération de [Levich 1962] (équation 1.109.). 

 Calcul du flux de diffusion en présence d’interactions 

[Fuchs 1934] a développé l’approche purement brownienne de [Smoluchowski 1917] en traduisant l’effet des forces d’interactions par un terme supplémentaire dans l’équation différentielle du flux de diffusion (équation 1.73.). [Spielman 1970] a complété cette approche  en représentant l’effet des forces visqueuses par deux fonctions G(r) et A(r) qui interviennent  dans l’écriture du flux J, soit:  J r () =-4m r 0 -+—–~- 2a( {1-A(r) àN N ai +a j (NT]  G(r) F àr 61tJ.1 aia j àr  V T : potentiel total d’interaction entre les deux particules de rayon ~ et aj. A(r) et G(r) sont des fonctions ne dépendant que de r a. et a .. 1 J (4.6.) L’analyse simpliste de [Fuchs 1934] revient à prendre A(r) = 0 et G(r) = 1 pour tout r. Pour un système de particules en interaction dans un écoulement turbulent, nous avons choisi d’utiliser l’équation 4.6. valable originellement en mouvement brownien, dans laquelle nous remplaçons le coefficient de diffusion 1:rownien OF par le coefficient· de diffusion turbulent de [Levich 1962], 0 . Les deux particules sont traitées de façon tuthsymétrique. Ainsi le flux de diffusion de particules j vers une particule de référence i est: Les conditions aux limites sont les mêmes que celles de l’équation 4.5. 

 Calcul du noyau d’agglomération 

Formulation exacte 

Pour résoudre l’équation 4.7., il est nécessaire de faire les hypothèses suivantes : – on suppose le régime quasi stationnaire. Ainsi le flux de diffusion Hr) est J uniforme, égal à J. ; J – toutes les particules ou agglomérats présents en suspension ont une taille inférieure à l’échelle de Kolmogorov ~o. Nous avons calculé, ~D (équation 1.8.), en utilisant pour Em l’expression de [Baldi et coll. 1978] (cf. § m du chapitre 3). Nous obtenons: . pour le système alumine a – eau : à 100 tr minot : Â-K = 144,60 /.lm o à 800 tr minot : ~D = 86,01 /.lm . pour le système alumine a – n-heptane : à 100 trmin-t : ~D = 67,51 /.lm à 800 tr minot : ~ = 40,14 f.1ID o Dans tous les cas ~o est bien supérieure à la taille des plus gros agglomérats observés en suspension, ce qui justifie cette hypothèse et permet donc d’utiliser comme expression pour D l’équation 4.2.