Continuité par rapport au domaine pour les problèmes aux valeurs propres de Dirichlet pour l’opérateur Laplacien

Continuité pour le problème de valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien

 Position du probème 

Soit D un ouvert borné de R N qui contiendra tous les ouverts variables considérés. Pour tout ouvert Ω dans D, on note uΩ, la solution du problème (2.1) associé à Ω. On pose f λ = λuΩ ∈ L 2 (D). Le problème de continuité : On se donne une suite d’ouverts Ωn incluse dans D, convergeant en un certain sens vers un ouvert Ω. Quand peut-on affirmer que uΩn ”converge” vers uΩ ? 2.3.2 Premières propriétés Nous commençons par donner quelques résultats fondamentaux. proposition 2.3.2.1 Il existe une constante C>0, ne dépendant que de D telle pour tout ouvert Ω inclus D, la solution uΩ du problème (2.2) vérifie l’inégalité suivante : ||uΩ||H1 0 (D) ≤ C. (2.9) 

Preuve de la proposition 

D’aprés (2.2), en posant u=uΩ, on obtient : ´ Ω |∇u| 2 (x)dx ≤ ||f λ ||L2(D) ||u||H1 0 (D) . Par linégalité de poincaré dans D, il existe une constante k1 > 0 ne dépendant que de D, telle : k1||u||2 H1 0 (D) ≤ ´ D |∇u| 2 (x)dx = ´ Ω |∇u| 2 (x)dx ≤ ||f λ ||L2(D) ||u||H1 0 (D) . ⇒ k1||u||H1 0 (D) ≤ ||f λ ||L2(D) , pour toute valeur propre λ associée à uΩ sur Ω. Donc pour λ1, la plus petite valeur propre associée uΩ sur Ω, on a aussi : ⇒ k1||u||H1 0 (D) ≤ ||f λ1 ||L2(D) Ainsi, sans plus tarder posons : k2 = ||f λ1 ||L2(D) , ce qui donne : ||u||H1 0 (D) ≤ 1 k1 k2 = C Ce qu’il fallait démontrer.

 Corollaire 

Continuité Par Rapport au Domaine Pour Les Problèmes De Valeurs Propres De L’opérateur Laplacien Avec Conditions De Dirichlet Homogènes. Etude de continuité par rapport au domaine de la solution du probème aux valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien. 5 Soit (Ωn)n≥1 une suite quelconque d’ouvert incluse dans D. Alors, il existe (uΩnk )k≥1 et u ∗ ∈ H1 0 (D) telles que : (1)(uΩnk )k≥1 converge faiblement dans H1 0 (D) vers u ∗ lorsque k tend vers l’infini. (2) De plus s’il existe un ouvert Ω ⊂ D tel que u ∗ = uΩ alors la convergence est forte dans H1 0 (D). Preuve du corollaire 2.3.2.2 La première partie est une conséquence directe de la borne établie en (2.3.2.1) et de la compacité faible séquentielle de la boule unité fermée de l’espace de Hilbert H1 0 (D). En effet, d’aprés la proposition 2.3.2.1, pour tout n, il existe une constante Cn telle que ||uΩn ||H1 0 (D) ≤ Cn sur Ωn. Et donc la suite uΩn est bornée par M = max{Cn, n > 0}. La dernière résulte du passage à la limite faible dans la propriété(2.2) : C’est-à-dire : lim k→+∞ ˆ D |∇uΩnk | 2 (x)dx = ˆ D |∇u ∗ Ω| 2 (x)dx = ˆ D |∇uΩ| 2 (x)dx En effet, on a alors : ∇uΩnk (L2 (D))N −→ ∇uΩ, ce qui prouve que la convergence dans (L 2 (D))N de ∇uΩnk est forte. Cependant on aimerait que cette limite u ∗ coïncide avec uΩ, où Ω soit la limite en un certain sens de Ωnk . Un pas majeur dans ce sens peut être fait dans le cas trés fréquent où :    il existe un ouvert Ω de D, tel que : pour tout compact K inclus dans Ω, il existe n0 ∈ N tel que ∀n ∈ N, n ≥ n0, K est inclus dans Ωn. (2.10) C’est le cas pour la convergence au sens de Hausdorff et pour la convergence au sens des compacts. Avec cette propriété, nous avons alors :

Proposition 

Supposons que (2.10) soit satisfaite. Alors il existe u ∗ dans H1 0 (D) et une suite extraite unk convergeant faiblement dans H1 0 (D) vers u ∗ , avec u ∗ vérifiant : ∀v ∈ H 1 0 (Ω), ˆ Ω ∇u ∗∇v(x)dx =< f λ , v >L2(Ω) (2.11) Preuve de la proposition 2.3.2.3 Continuité Par Rapport au Domaine Pour Les Problèmes De Valeurs Propres De L’opérateur Laplacien Avec Conditions De Dirichlet Homogènes. Etude de continuité par rapport au domaine de la solution du probème aux valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien. 6 Soit unk = uΩnk , nous connaissons déja l’existence de la suite extraite unk et de u ∗ . Prenons Ψ, une fonction fixée dans C ∞ 0 (Ω). Grâce à l’hypothèse (2.10), on a Ψ ∈ C ∞ 0 (Ωn) pour n assez grand, de plus ˆ Ωn ∇unk∇Ψ(x)dx = ˆ D ∇unk∇Ψ(x)dx, (2.12) en étendant à D tout entier. Ainsi, en passant à la limite faible dans H1 0 (D), on obtint : ˆ D ∇u ∗∇Ψ(x)dx =< f λ , Ψ >L2(D) (2.13) Cette égalité (2.13) étant vraie pour Ψ ∈ C ∞ 0 (Ω), on en déduit (2.11) par densité de C ∞ 0 (Ω) dans H1 0 (Ω). Dans ce cadre pour pouvoir conclure à la convergence de uΩn vers uΩ, il reste à répondre à la question : Quand peut-on affirmer que u ∗ ∈ H 1 0 (Ω)? (2.14) Proposition 2.3.2.4 Supposons (avec les notations et les hypothèses de la proposition 2.3.2.3) que u ∗ ∈ H1 0 (Ω)); alors 1) u ∗ = uΩ 2) Toute la suite uΩn converge vers uΩ. 3) La convergence est forte dans H1 0 (D). Preuve de la proposition 2.3.2.4 Le premier point provient de la propriété (2.11) de la proposition 2.3.2.3 et l’unicité de la solution du problème de Dirichlet dans Ω. Cette même unicité assure que c’est toute la suite qui converge. Et le dernier point se déduit du corollaire 2.3.2.2. 

 Cas des suites croissantes proposition 

Continuité 

Par Rapport au Domaine Pour Les Problèmes De Valeurs Propres De L’opérateur Laplacien Avec Conditions De Dirichlet Homogènes. Etude de continuité par rapport au domaine de la solution du probème aux valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien. 7 Soit Ωn une suite croissante d’ouverts de D, et Ω = ∪nΩn alors un = uΩn converge vers uΩ = u ∗ dans H1 0 (D). C’est aussi le cas plus généralement, si Ωn est une suite d’ouverts incluse dans l’ouvert Ω et convergent au sens de Hausdorff vers Ω. Preuve de la proposition 2.3.3.1 Puisqu’une suite croissante d’ouverts converge au sens de Hausdorff vers la réunion des ouverts. Il reste à montrer que un = uΩn converge vers uΩ dans H1 0 (D). Or si Ωn converge au sens de Hausdorff vers Ω, l’hypothèse (2.10) est vérifiée. De plus d’ aprés la proposition 2.3.2.3 il existe une suite extraite uΩnk et u ∗ dans H1 0 (D) telles que uΩnk convergent faiblement verts u ∗ dans H1 0 (D) et vérifie la propriété 2.11, il nous reste donc à prouver que u ∗ ∈ H1 0 (Ω) pour pouvoir conclure. En effet : Puisque un = uΩn ∈ H1 0 (Ωn), il existe wn ∈ C ∞(Ωn) telle que : ||un − wn||H1 0 (Ωn) ≤ 1 n . On en déduit que wn converge aussi faiblement vers u ∗ dans H1 0 (D) et comme Ωn ∈ Ω alors wn ∈ C ∞(Ω). Or wn converge faiblement vers u ∗ dans H1 (Ω), implique u ∗ ∈ H1 0 (Ω). 

Cas de la dimension

Soit D un intervalle borné de R et Ωn une suite d’ouverts incluse dans D convergeant au sens de Hausdorff vers un ouvert Ω. Alors un = uΩn converge vers u ∗ = uΩ dans H1 0 (D). Preuve de la proposition 2.3.4.1 En dimension 1, la norme ||.||H1(R) domine la norme Holdérienne. D’aprés le théorème d’Ascoli on peut donc supposer que la suite extraite uΩnk de uΩn selon la proposition 2.3.2.3 converge aussi uniformément dans H1 0 (D) vers u ∗ . De plus u ∗ ∈ H1 0 (Ω) car pour tout x ∈ D\Ω, ∃xn ∈ D\Ω telle xn converge vers x. Et par convergence uniforme, uΩnk (xn) qui est nulle, converge vers u ∗ (x) qui est aussi nulle. Et donc u ∗ est nulle sur D\Ω, d’où u ∗ ∈ H1 0 (Ω). Ce qui prouve que c’est toute la suite qui converge vers u ∗ = uΩ. 2.4 Conclusion Cependant á l’aide de ce chapitre, l’étude de continuité par rapport au domaine de la solution du probème aux valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien, se ramème dans un domaine ayant de bonne propriétés de convergence et de compacité à la réponse de la question (2.14). Ainsi pour les chapitres qui viendrons nous tenterons toujours de répondre Continuité Par Rapport au Domaine Pour Les Problèmes De Valeurs Propres De L’opérateur Laplacien Avec Conditions De Dirichlet Homogènes. Etude de continuité par rapport au domaine de la solution du probème aux valeurs propres de Dirichlet pour le Laplacien. 8 à cette question.