CONVERSION DE L’ENERGIE VIBRATOIRE EN ENERGIE ELECTRIQUE

Les vibrations

PRINCIPE

On dit qu’un objet vibre quand il y a déformation et oscillation de celui-ci autour de sa position de référence : position d’équilibre. Il y a relation entre déplacement, vitesse de déplacement et l’accélération. Les vibrations peuvent être caractérisées par : – Leur fréquence (exprimée en Hertz) – Leur amplitude, caractérisée soit : par l’amplitude du déplacement, (en mètres), par l’amplitude de la vitesse à laquelle s’effectue le mouvement (m/s) qui est proportionnelle au déplacement et à la fréquence, ou par l’amplitude de l’accélération, proportionnelle au déplacement et au carré de la fréquence (m/𝑠 2 ou en g. 1g = 9,81 m/𝑠 2 ) Déplacement et accélération sont les variables les plus utilisées pour qualifier l’amplitude de la vibration. On utilise le plus souvent la valeur efficace (RMS) de l’accélération. Elle est égale à la racine carrée de la moyenne, sur le temps d’observation, du carrée de la valeur instantanée. Lors d’une excitation, un corps vibre à une fréquence particulière qui est sa fréquence propre (par exemple. Une vibration peut se propager d’un corps à un autre, ce second corps pouvant vibrer avec une amplitude différente. On parle ainsi d’amplification, ou d’atténuation de la vibration. Quand l’amplitude est maximale, pour un corps donne, on dit qu’il y a résonance. Ce phénomène se produit pour une fréquence donnée, caractéristique de l’élément considéré : la fréquence de résonance. 2. LA MESURE DES VIBRATIONS La chaine de mesure comporte : des capteurs (par exemple les capteurs piézoélectriques [7]), des amplificateurs conditionneurs, (permettent l’alimentation électrique du capteur et l’adaptation de sa sensibilité de façon à fournir les résultats en unité cohérente) et des enregistreurs (graphiques, photographiques ou magnétiques). Les vibrations mécaniques sont détectées par un capteur de vibrations, qui convertit le signal mécanique en un signal électrique qui sera acheminé à un mesureur de vibrations Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 4 q ve vs Chapitre II : Conditionnement d’un signal vibratoire issue d’un capteur 1. Principe : L’étage du conditionnement du signal des capteurs à un rôle très important. Il converti en tension la grandeur de sortie du capteur, adapte l’impédance pour le capteur et limite l’amplification en mode commun. Il doit être optimisé pour éliminer les bruits électromagnétiques. Le schéma synoptique de l’étage d’acquisition et celui du conditionnement est le suivant : Figure 2.1 : Schéma synoptique de la chaine de mesure La phase de conditionnement est divisée en deux parties : – La conversion de la charge q délivrée par le capteur en tension 𝐯𝐞 – L’amplification de la tension à la sortie du convertisseur (de quelques µV) en une tension 𝐯𝐬 (V) exploitable Phase de conditionnement Phase d’acquisition Capteur piézo-électrique Convertisseur charge – tension Amplificateur Exploitation Vibration Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 5 2. Conversion charge – tension : 2.1. Constituants : Un convertisseur charge – tension est constitué en général d’un Amplificateur Opérationnel intégrateur [13]. Figure 2.2: schéma d’un intégrateur Le signal d’entrée est Ve(t). Dans le modèle idéal, vA = 0 ; 𝑖(𝑡) = 𝑉𝑒(𝑡) 𝑅 . Le courant dans le condensateur est : 𝑖𝑐(𝑡) = −𝐶 𝑑v𝐬 𝑑𝑡 => 𝑑v𝐬 𝑑𝑡 = − 1 𝑅𝐶 ve Et par intégration, on tire : v𝐬 = − 1 𝑅𝐶 ∫ ve 𝑑𝑡 2.2. Fonctionnement : En posant : 𝑖(𝑡) = 𝑑𝑞 𝑑𝑡 = ve 𝑅 => 𝑞 = 1 𝑅 ∫ ve𝑑𝑡 On a finalement, L’influence de l’impédance en parallèle du générateur de courant est rendue négligeable par un Amplificateur Opérationnel (AO) imposant une tension quasi nulle sur son entrée. Les charges délivrées par le capteur apparaissant sous forme de courant i sont 𝑖𝑐(𝑡) 𝑖(𝑡) A v𝐬 = − 𝑞 𝐶 Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 6 transférées dans la capacité C de la contre réaction de l’AO. La résistance R en parallèle avec C sert à écouler les charges emmagasinées dans la capacité lorsque celle – ci se décharge permettant ainsi la circulation des courants. On obtient donc la figure suivante : Figure 2.3 : Schéma d’un convertisseur charge – tension 3. Amplification : L’étage qui suit la conversion est l’amplification. En effet, Les signaux électriques issus de capteurs (thermocouple, ponts de mesure) sont généralement de faible niveau. Si l’on souhaite travailler avec une bonne précision, il est nécessaire de les amplifier. Mais cette amplification ne doit concerner que le signal utile. Or ce dernier côtoie bien souvent une tension parasite (souvent du même ordre de grandeur que le signal utile) ainsi qu’une tension de mode commun due au conditionneur associé au capteur. La tension qui se superpose peut avoir plusieurs origines : • quand les câbles de liaison entre le capteur et l’amplificateur sont placés à proximité d’un fil secteur, un couplage capacitif génère cette tension supplémentaire Fig2.4 (a) • quand le câble de liaison est sujet à des parasites d’origine magnétique  Figure 2.4 : Origine de la superposition de la tension Il faut donc faire une amplification « sélective » qui élimine ou atténue fortement tout signal ne contenant pas d’information pour ne garder que le signal issu du convertisseur. Pour cela, on utilise les amplificateurs d’instrumentation [1] qui sont des amplificateurs différentiels [2] à forts taux de rejection de mode commun. 

Quelques rappels sur les amplificateurs différentiels

Notion de tension en mode commun

La tension de mesure issue du convertisseur est une tension différentielle entre deux conducteurs (𝐯𝟏 et 𝐯𝟐) : (2.1) On définit la tension en mode commun 𝐯𝐜𝐦 comme étant la tension commune à 𝐯𝟏 et 𝐯𝟐 et qui ne contient pas d’information. La tension en mode commun s’exprime par : (2.2) On obtient ainsi les tensions : 𝐯𝟏 = 𝐯𝐜𝐦 + 𝐯𝐝 𝟐 et 𝐯𝟐 = 𝐯𝐜𝐦 − 𝐯𝐝 𝟐 (a) : couplage capacitif (b) : couplage inductif Convertisseur Convertisseur 𝐯𝐜𝐦 = 𝐯𝟏 + 𝐯𝟐 𝟐 𝐯𝐝 = 𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 8 Un amplificateur différentiel est caractérisé par le taux de réjection du mode commun 𝑪𝑴𝑹𝑹 qui qualifie l’amplification du mode différentiel par rapport au mode commun [2]. L’amplification du mode différentiel doit être la plus élevée possible tandis que l’amplification de mode commun la plus faible possible. b) Amplificateur de différence : L’utilisation d’un amplificateur de différence est souvent rendue nécessaire lors de la présence d’une tension de mode commun. Son rôle est de fournir en sortie, une tension proportionnelle à la différence des deux tensions d’entrée [2]. i) Cas idéal : Le montage est le suivant : Figure 2.5: Amplificateur de différence Dans le cas où l’on considère l’AO comme parfait, nous pouvons écrire, au niveau des tensions d’entrée de l’AO (en posant 𝐯+et 𝐯− les tensions d’entrée respectivement non inverseuse et inverseuse) [13 – E201 : base de l’electronique]: 𝐯+ = 𝑹𝟐 𝑹𝟐+𝑹𝟏 𝐯𝟏 (2.3) et 𝐯− = 𝑹𝟒𝐯𝟐+𝑹𝟑𝐯𝐬 𝑹𝟑+𝑹𝟒 = 𝑹𝟒 𝑹𝟑+𝑹𝟒 𝐯𝟐 + 𝑹𝟑 𝑹𝟑+𝑹𝟒 𝐯𝐬 (2.4) Comme l’AO est en contre réaction négative (en régime non saturé) : 𝐯+= 𝐯− ° ° ° ° Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 9 Soit pour la tension de sortie : Pour avoir la forme 𝐯𝐬 = 𝒂(𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 )(caractéristique d’un amplificateur différentiel), il faut que 𝑹𝟏 = 𝑹𝟑 et 𝑹𝟐 = 𝑹𝟒. On obtient donc: 𝐯𝐬 = 𝑹𝟐 𝑹𝟏 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 ) (2.5) Soit un gain en tension en mode différentiel : (2.6) Mais il faut noter que le réglage du gain n’est pas possible directement car il nécessite la modification de deux résistances qui doivent rester rigoureusement identiques. ii) Cas réel : Dans le cas réel, il faut tenir compte de la tension en mode commun. Figure 1.6: Schéma équivalent d’un amplificateur différentiel La tension de sortie Vs est donnée par : 𝐯𝐬 = 𝑨𝟏. 𝐯𝟏 − 𝑨𝟐. 𝐯𝟐 (2.7) Les tensions en mode différentielle et en mode commun sont données respectivement par : 𝐯𝐝 = 𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 et 𝐯𝐜𝐦 = 𝐯𝟏+𝐯𝟐 𝟐 v1 v2 vs 𝐯𝐬 = 𝟏 𝑹𝟑 [( 𝑹𝟑 + 𝑹𝟒 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 ) 𝑹𝟐𝐯𝟏 − 𝑹𝟒𝐯𝟐] 𝑨𝐯𝐝 = 𝑹𝟐 𝑹𝟏 Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 10 En utilisant les Eq. (2.1), (2.2) et en remplaçant (2.7), on obtient : (2.8) Le gain en tension en mode différentiel est donc : 𝑨𝐯𝐝 = 𝑨𝟏+ 𝑨𝟐 𝟐 et celui en mode commun la différence des gains 𝑨𝐯𝐜𝐦 = 𝑨𝟏 − 𝑨𝟐. c) Définition du taux de réjection en mode commun ou Common Mode Rejection Ration(CMRR): Il caractérise le rapport entre l’amplification différentielle 𝑨𝐯𝐝 et l’amplification du mode commun d’un amplificateur différentiel 𝑨𝐯𝐜𝐦 . On définit le CMRR (en dB) par l’expression : 𝐶𝑀𝑅𝑅 = 20log( 𝑨𝐯𝐝 𝑨𝐯𝐜𝐦 ) L’expression de la tension de sortie en (3.8) devient alors: 𝐯𝐬 = 𝑨𝐯𝐝 (𝐯𝐝 + 𝟏 𝑪𝑴𝑹𝑹 𝐯𝐜𝐦) (2.9) La quantité 𝟏 𝑪𝑴𝑹𝑹 𝐯𝐜𝐦 est appelée tension de Mode Commun ramenée en entrée différentielle. Cette tension introduit une erreur sur l’amplification différentielle. i) Prise en compte du CMRR de l’AO : D’après les Eq. (2.3) et (2.4) de la fig2.5, et en remplaçant ces deux dernières Eq. dans l’expression de 𝐯𝐬 dans (2.9) et en faisant l’approximation que 𝑨𝐯𝐝 >> 𝑨𝐯𝐜𝐦 et 𝑨𝐯𝐝 >> 1, 𝐯𝐬 est donnée par l’expression : 𝐯𝐬 = 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝐯𝐝 (𝟏 + 𝐯𝐜𝐦 𝐯𝐝 𝟏 𝑪𝑴𝑹𝑹) 𝐯𝐬 = 𝑨𝟏 + 𝑨𝟐 𝟐 𝐯𝐝 + (𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 )𝐯𝐜𝐦 Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 11 Le terme d’erreur est : 𝐯𝐜𝐦 𝐯𝐝 𝟏 𝑪𝑴𝑹𝑹 . La réduction du CMRR du montage dépend directement du CMRR de l’amplificateur. ii) Prise en compte de la précision des résistances : Pour voir l’influence de l’incertitude des résistances sur le CMRR du montage, on se place dans le cas le plus défavorable vis à vis des résistances, (cas où les gains associés à chaque entrée sont les plus éloignés). Pour calculer l’influence sur la tension de mode commun, on va prendre comme tension d’entrée V1=V2=V et en supposant que les résistances ne sont pas identiques. 𝑅1 = 𝑅1 (1 + 𝑥) 𝑅2 = 𝑅2 (1 − 𝑥) 𝑅3 = 𝑅1 (1 − 𝑥) 𝑅4 = 𝑅2 (1 + 𝑥) Avec x : erreur due aux petites variations des résistances ou imprécision. Figure 2.7: influence de la résistance sur le CMRR Dans ce cas, la tension de sortie vaut : 𝐯𝐬 = 𝟏 (𝟏+𝒙) ( 𝟒 𝑹𝟏(𝟏−𝒙) 𝑹𝟐.𝒙.𝐯 𝑹𝟐(𝟏+𝒙) ) Pour x (petite) et en posant 𝐀′ le gain en tension (c’est – à – dire le gain dans le cas où on tient compte que les résistances ne sont pas précises) : 𝐯𝐬 = 𝟒𝒙 𝑨′𝐯𝐝 𝟏+𝑨′𝐯𝐝 𝐯 ° Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 12 Nous obtenons donc un gain de mode commun non nul : 𝑨′𝐯𝐜𝐦 = 𝟒𝒙 𝑨′𝐯𝐝 𝟏 + 𝑨′𝐯𝐝 En considérant que les résistances n’influent pas sur le gain différentiel, nous obtenons alors un CMRR : 𝑪𝑴𝑹𝑹 = 𝟏+𝑨′𝐯𝐝 𝟒𝒙 Nous voyons donc que plus les résistances seront précises plus le CMRR sera important. iii) Influence de l’AO : On considère l’AO de la fig6 comme non parfait en prenant en compte son taux de réjection de mode commun. D’après (2.1), (2.2) et (2.8), la sortie de l’AO s’écrit : 𝐯𝐬 = 𝑨𝐯𝐝 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟐) + 𝑨 𝐯𝐜𝐦 ( 𝐯𝟏+𝐯𝟐 𝟐 ) On obtient, après calcul, pour l’amplificateur de différence une tension de sortie : 𝐯𝐬 = 𝑨𝐯𝐝 𝑲𝟐 𝟏+(𝑨𝐯𝐝 − 𝑨𝐯𝐜𝐦 𝟐 )𝑲𝟏 (𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 ) + 𝑨𝐯𝐜𝐦 𝑲𝟐 𝟏+(𝑨𝐯𝐝 − 𝑨𝐯𝐜𝐦 𝟐 )𝑲𝟏 ( 𝑨𝐯𝐜𝐦 𝑲𝟐 𝟐 ) ( 𝐯𝟏+𝐯𝟐 𝟐 ) Avec 𝑲𝟏 = 𝑹𝟏 𝑹𝟐+𝑹𝟏 et 𝑲𝟐 = 𝑹𝟐 𝑹𝟐+𝑹𝟏 En considérant que 𝐴𝑣𝑑 >> 𝐴𝑣𝑐𝑚, on aboutit finalement à : Conversion de l’énergie vibratoire en énergie électrique Page 13 𝐯𝐬 = 𝑨′𝐯𝐝 [(𝐯𝟏 − 𝐯𝟐 ) + 𝑨𝐯𝐜𝐦 𝟐𝑨𝐯𝐝 (𝐯𝟏 + 𝐯𝟐 )] On obtient donc pour le montage différentiel un taux de réjection de mode commun : 𝐶𝑀𝑅𝑅𝑑𝑖𝑓𝑓 = 𝟐𝑨𝐯𝐝 𝑨𝐯𝐜𝐦 = 𝐶𝑀𝑅𝑅𝐴𝐷 Les performances en terme de CMRR de ce type d’amplificateur de différence vis à vis de l’AO sont identiques. Le défaut de l’AO se retrouve directement dans le montage, et ceci quel que soit le gain A’d du montage [1]. iv) Impédance d’entrée : Chaque voie d’entrée voit une impédance différente : – Entrée non inverseuse : 𝒁𝐯+ = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 – Entrée inverseuse : Z𝐯−= R1 L’impédance d’entrée n’est pas symétrique, de plus elle dépend de la valeur des résistances employées, qui pour des limitations de bruit thermique et de réponse en fréquence sont en général de valeurs bien inférieures au MΩ.

Amplificateur d’instrumentation

La particularité d’un amplificateur d’instrumentation est qu’il amplifie la tension en mode différentiel sans (ou peu) amplifier la tension en mode commun [1]. Il consiste à utiliser un montage amplificateur avec plusieurs AO qui optimise le rapport de l’amplification du mode différentiel par rapport à l’amplification de mode commun. Pour augmenter le 𝐶𝑀𝑅𝑅, il faut : • présenter des entrées à impédance infinie pour éviter de délivrer des tensions différentes sur les deux entrées • symétriser les deux voies pour traiter identiquement l’amplification des deux entrées.