Une analyse approfondie de l’écoulement inertiel dans des structures poreuses modèles 3D

 Introduction

Après avoir étudié la déviation à la loi de Darcy sur des structures 2D dans le chapitre 3, l’effet du caractère 2D ou 3D de la structure poreuse sur la déviation à la loi Darcy, suggéré dans la littérature [43], est analysé. L’écoulement monophasique inertiel stationnaire d’un fluide newtonien incompressible dans des conditions isothermes est considéré dans des structures poreuses modèles 3D. Compte tenu du besoin important en ressources informatiques et en temps de calcul, l’analyse numérique de la déviation à la loi de Darcy, de nature inertielle, sur des structures poreuses désordonnées 3D fait toujours défaut dans la littérature. Dans ce chapitre, les structures poreuses modèles de porosité  = 75% considérées consistent en une structure de cubes ordonnés sur un réseau cubique (appelée OSC, Fig. 4.1a), une structure de sphères ordonnées sur un réseau cubique (OSS, Fig. 4.1b) et une structure désordonnée de cubes (DSC, Fig. 4.1c) obtenue par le placement aléatoire des cubes (de même taille) dans chaque cellule du réseau cubique. Les propriétés effectives apparaissant dans le modèle macroscopique résultant du changement d’échelle par prise de moyenne des équations de Navier-Stokes à l’échelle du pore sont déterminées numériquement (à l’aide du logiciel Comsol) de la même manière que dans le chapitre 3 (voir chapitre 3, section 3.2). A partir des résultats obtenus, présentés dans la section 4.3, la dépendance de la correction inertielle (nonlinéaire) vis-à-vis de la microstructure, de l’orientation du gradient de pression, et du désordre structurel, est examinée. Finalement, la structure microscopique de l’écoulement, caractérisée par la tortuosité (déterminée à partir de différentes définitions), est analysée et corrélée à   l’apparition des différents régimes inertiels.

Modèle physique et méthodologie

L’écoulement monophasique stationnaire isotherme d’un fluide newtonien incompressible β au travers des structures mentionnées plus haut est considéré. De la même manière que dans les chapitres 2 et 3, un VER (Fig. 4.2), de longueur caractéristique l, contenant toutes les propriétés locales du transport, est extrait de la structure réelle et des conditions aux limites périodiques sont employées. Le problème aux valeurs initiales et aux limites adimensionnel sur le VER est donné dans le chapitre 2 par les Eqs. 2.3. Quant au modèle adimensionnel régissant l’écoulement à l’échelle locale, obtenu par prise de moyenne volumique des équations microscopiques, il est donné dans le chapitre 3 par les Eqs. 3.2 et 3.3 et le problème de fermeture adimensionnel (sous forme fermée) associé, dans le chapitre 3 par les Eqs. 3.8. De la même manière que dans le chapitre 3, la résolution numérique du problème de fermeture adimensionnel sous forme fermée (Eqs. 3.8), par la méthode décrite dans la section 3.2.5, fournit les tenseurs macroscopiques, de perméabilité K∗ pour Re∗ = 0 et de perméabilité apparente H∗ (ou bien F ∗ donné par l’Eq. 3.6) pour un Re∗ non-nul. A partir des solutions obtenues sur les différentes structures considérées et pour les différentes orientations du ∇ D p ∗ β Eβ , la déviation à la loi de Darcy est étudiée en analysant la dépendance du vecteur de correction inertielle fc (Eq. 3.9) par rapport au nombre de Reynolds Rek (Eq. 2.6). De plus, les champs de vitesse microscopiques, correspondant aux différents Re∗ sont déterminés à partir de l’Eq. 3.7 afin de pouvoir analyser la structure microscopique de l’écoulement (calcul de tortuosité dans ce chapitre). D’une manière générale, le lecteur peut se référer à la section 3.2 pour plus de détails sur la méthodologie.

Sensibilité au maillage

La dépendance de la solution au problème de fermeture adimensionnel (Eqs. 3.8) par rapport au nombre d’éléments du maillage est étudiée dans les trois structures 3D considérées (voir Fig. 4.1). Avec D ∇p ∗ β Eβ = ex, la variation de la première composante du tenseur de perméabilité apparente adimensionnel, normalisée par la valeur obtenue avec le maillage le plus fin, (H∗ xx)n , en fonction de Rek, est présentée sur la Fig. 4.3. Pour la même raison que dans le chapitre 3, l’analyse est réalisée pour les valeurs maximales des nombres de Reynolds considérés dans chaque structure (les valeurs sont précisées sur la Fig. 4.3). Une faible sensibilité de (H∗ xx)n vis-à-vis de la taille du maillage, pour les intervalles de taille considérées, est observée pour OSC (Fig. 4.3a) et OSS (Fig. 4.3b). En effet, un rapport de 28, entre le nombre de mailles dans le maillage le plus fin et le plus grossier, n’engendre qu’une variation sur la valeur de (H∗ xx)n , d’environ 5% pour OSS et moins de 1, 5% pour OSC. Les maillages adoptés dans ces structures ordonnées comportent 69661 éléments pour OSC et 62626 éléments pour OSS. Ces tailles de maillage, plus fins que ce qui est nécessaire, sont retenus afin de permettre une détermination plus précise des lignes de courant par la suite. L’étude de la sensibilité de (H∗ xx)n par rapport à la taille du maillage dans une réalisation de DSC, composée de 5 × 5 × 5 inclusions, a montré qu’avec un maillage d’environ 300000 éléments, l’erreur relative sur la valeur de (H∗ xx)n par rapport à un maillage deux fois plus fin, n’est que de 2% (Fig. 4.3c). A partir de cette observation, le nombre minimal de mailles dans chaque réalisation de DSC est de 442398 mailles.