Sommaire: Cours et exemples sur les fonctions de deux variables réelles
I : Limites et Continuité
1) Fonctions à valeurs réelles
2) Limites et continuité
2) Fonctions à valeurs vectorielles
II : Dérivation
1) Dérivées partielles
2) Gradient
3) Dérivées de fonctions composées
4) Extremum
5) Dérivées successives
6) Tangente à une ligne de niveau
III : Intégrales doubles
1) Exemples
2) Propriétés
3) Changement de variables
4) Autres exemples d’intégrales multiples
Annexe I : Théorème de Schwarz
Annexe II : Applications et formules diverses
1) Centre d’inertie
2) Moment d’inertie
Extrait du cours et exemples sur les fonctions de deux variables réelles
I : Limites et continuité
1– Fonctions à valeurs réelles
Dans ce chapitre, on considère des fonctions définies sur une partie A de , à valeurs réelles :f: a= (x1, x2) → f(x1, x2)
Une telle fonction peut donner lieu à une représentation graphique dans 3 par la représentation de la surface z= f(x1, x2).
EXEMPLE 1 : diverses représentations de la fonction .
L’utilisation des lignes de niveau dans divers domaines est très fréquente. Citons,entre autres :
isobares : lignes de même pression
isobathes : lignes de même profondeur
isoclines : lignes de même inclinaison magnétique
isogones : lignesde même déclinaison magnétique
isohyètes : lignes de même précipitation moyenne
isohypses : ligne de même altitude
isothermes : lignes de même température
2– Limites et continuité
Les définitions de limites et continuité sont semblables à celles des fonctions de dans . La seule différence est qu’on remplace la valeur absolue par norme euclidienne sur . Ainsi, par exemple, f tend vers la limite (vectorielle) l quand (le vecteur) a tend vers (le vecteur) a 0 si :
Il convient de noter qu’il ne suffit pas de vérifier la continuité des deux applications partielles définies ainsi : pour x1 donné x 2 → f(x1, x2) et pour x 2 donné, l’application x 1 → f(x 1, x2). La continuité fait intervenir les deux variables simultanément.
III : Dérivation
1– Dérivées partielles
Les fonctions qui suivent sont supposées définies sur un ouvert U de 2; U est ouvert si, pour tout point X0 de U, il existe un rayon r strictement positif tel que le disque de centre X0 et de rayon r est inclus dans U. Cela signifie qu’on peut se déplacer d’une petite longueur dans toutes les directions autour de X 0tout en restant dans U.même). Alors que le mathématicien considère dx1 comme la fonction qui à (h1, h2) associe h1,variation de x 1, dx 1 est considéré par le physicien comme la variation de x 1 elle-même. De même, le mathématicien considère df comme l’application qui, à une variation de position (h1, h2), associe la partie linéaire de la variation de f, alors que le physicien considère df comme cette variation elle- même, d’autant plus que (h1, h2) peuvent être choisis suffisamment petits pour rendre l’erreur o(||(h1, h2)||) indécelable par les instruments de mesure.
2– Gradient
On remarquera que, pour un déplacement h = (h1, h2) de longueur donnée, la variation (au premier ordre de f) df est maximale lorsque (h1, h2) est colinéaire à grad(f), nulle si elle est orthogonale à grad(f). Cela s’interprète géométriquement par le fait que les lignes de niveaux f(x1, x2) sont orthogonales au gradient. La direction du gradient indique la direction suivant laquelle f varie le plus vite, la norme du gradient mesurant l’intensité de cette variation. Par exemple, si f est l’altitude en un point (x1, x2), grad(f) est le vecteur orienté dans la direction de la ligne de plus grande pente, de norme égale à la pente locale. Au contraire, si on se déplace orthogonalement au gradient, f ne varie pas. On suit une ligne de niveau.
4– Extremum
f admet un maximum (respectivement minimum) local en a0 s’il existe un voisinage de a0 tel que,pour tout a de ce voisinage, on ait f(a) inférieur (respectivement supérieur) à f(a0). Si f est de classe C 1 , il n’est pas difficile de voir que les dérivées premières sont nulles en a0, car les fonctions partielles admettent un extremum au même point. La réciproque est fausse (elle l’est déjà pour les fonctions de ## dans $$) comme le prouve le contre–exemple suivant .
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