L’impact de la crise sur le parcours de notation des firmes

Revue de la littérature

Les modèles de migration des notations de firmes ont fait l’objet de nombreux travaux récents qui évaluent les changements de notation depuis les récentes crises financières. Si quelques auteurs mettent en œuvre des modèles théoriques de migration en se basant sur les processus de Markov, rares sont les études qui évaluent l’impact des crises sur les changements de parcours de notation des firmes. Nous utilisons ici un modèle probit ordonné pour les différents parcours de notation des firmes afin d’évaluer les impacts de crise sur les migrations de notation. L’étude des changements de note a été déjà mis en œuvre dans de nombreuses études telles que Feng et Gourieroux1 , Gagliardini et Gourieroux (2005a, 2005b). En utilisant une modélisation de la structure par terme des primes, Bangia et al. (2002) évaluent les risques inhérents aux portefeuilles et les prix des dérivés de crédit à l’aide de modèle de migration des notations. En séparant l’économie en deux états ou deux régimes, expansion et contraction, ils montrent que la distribution des pertes de portefeuille de crédit peut varier considérablement, tout comme le niveau de capital économique à affecter par l’établissement financier. Ils se basent sur le facteur de volatilité macroéconomique comme un élément clé d’un cadre conceptuel utile pour tester les portefeuilles de crédit (stress) et sur les matrices de migration de crédit entre les conditions macroéconomiques et la qualité des actifs pour caractériser les changements attendus de la qualité de crédit. Leurs modèles ont des applications différentes telles que la structure par terme des primes de risques de crédit et le prix des produits dérivés. D’autres modèles comme ceux de Frydman et Schuermann (2007) proposent un modèle de Markov mixte pour étudier les liens entre les matrices de transition et le risque de crédit. Ils estiment le modèle en utilisant l’historique de notation de crédit et montrent que le modèle mixte est meilleur que le modèle de Markov simple. ils montrent également que la note future de l’entreprise dépend de sa note actuelle et de son historique de notation. En effet, ils constatent que deux entreprises ayant les mêmes notes peuvent avoir sensiblement différents vecteurs de probabilités de transition. Ils comparent les performances du modèle mixte et de la chaîne de Markov. Nickell et al. (2000) étudient la dépendance de la probabilité de transition des notes avec le cycle économique. Ils emploient des modèles probit ordonnés. Cette approche donne une idée plus précise sur l’importance des facteurs en comparant les matrices de transition estimées à partir de différents échantillons. A la lumière de ces études, deux approches pour l’estimation des probabilités de changement de notation sont mis en œuvre. La première est une simple approche non paramétrique qui consiste simplement à estimer les probabilités en fonction des fréquences par rapport aux ensembles de données distinctes 1Les changements de note de crédit sont anticipés en se basant sur les matrices de transition qui décrivent ainsi l’évolution de la qualité de la dette des entreprises correspondant à différents types de débiteurs ou observées à différents stades du cycle économique. La deuxième approche utilise un modèle paramétrique de type probit ordonné. Ceci a l’avantage de pouvoir estimer l’impact sur les probabilités de changement de notation de la modification d’une seule caractéristique d’un débiteur, compte tenu d’autres caractéristiques et d’un certain stade fixé du cycle économique. A partir de notre base de données, nous mettons en œuvre un modèle de transition des notations et évaluont l’impact de ces transitions à la lumière des crises actuelles. Ce que nous cherchons à modéliser est un processus joint décrivant les parcours de notation des firmes en fonction des durées de notation (nombre de mois qui séparent les dates de deux changements de notes successifs) et les directions empruntées par les notes à l’issu des changements annoncés par l’agence S&P. Pour progresser, nous écrivons, pour chaque épisode de notation n (n = 1, 2, . . . , Nf − 1) d’une firme donnée f (f = 1, 2 . . . , F), la distribution jointe du couple y f n = (x f τn , df n ) de la manière suivante : fY (x f n , df n /zf 1n , z f 2n , v, If n−1 ; θ) = fX(x f n /df n , z f 1n , v; θ) fD(d f n /zf 2n , v, If n−1 ; θ) (41) où : (1) fX(x f n /df n , z f 1n , v; θ) désigne la densité de probabilité des différentes directions que peut emprunter la note à l’issue du n-ième épisode de notation. Celles-ci sont modélisées par une variable polytomique dont les modalités sont ordonnées de la manière suivante 2 : x f n    1 → Abaissement majeur de la note 2 → Abaissement mineur de la note 3 → Augmentation mineure de la note 4 → Augmentation majeure de la note Cette fonction est établie conditionnellement à un ensemble de caractéristiques observables, z f 1n , et non observables v, ainsi qu’à la durée de l’épisode de notation donnant lieu au n’ième changement annoncé pour la firme f, df n . (2) La fonction fD(d f n /zf 2n , v, If n−1 ; θ) correspond à la fonction de densité de la durée conditionnellement à I f n−1 (toute l’information qui est jusque là disponible sur la dynamique décrivant le passé du parcours de notation de la firme f). Là encore, cette fonction est exprimée en 2Nous entendons par abaissement majeur, le passage d’une note d’une classe donnée à une autre classe. A titre d’exemple, une transition de la catégorie AA à la catégorie A, selon l’échelle de note de Standard and Poor’s. Un abaissement mineur se traduit par par le passage des notes affublées d’un « + » vers des notes affublées d’un « – » , à titre d’exemple le passage de AAA+ à AAA−. 3. MODÈLE 94 fonction d’un ensemble de caractéristiques observables, z f 2n , et non observables v. (3) Le terme θ est le vecteur de paramètres à estimer.

Un modèle Probit ordonné pour la direction des notes

Le recours à un modèle Probit ordonné afin de modéliser la direction des notes est fondé sur l’idée que la classe de risque à laquelle est affectée une firme f à un moment donné est déterminée à partir de l’évaluation d’un score continu non observable. Dans notre cas, ce score est considéré comme étant une fonction décroissante de la probabilité de défaut estimée. Soit S f n , la valeur du score enregistrée par une firme f à l’issu du nième épisode de notation. Ce que nous retenons, ce sont les variations de ce score au fil du temps. Ainsi, nous notons : y f n    1 si △ S f n < c1 → Abaissement majeur de la note 2 si c1 ≤ △S f n < c2 → Abaissement mineur de la note 3 si c2 ≤ △S f n < c3 → Augmentation mineure de la note 4 si △ S f n ≥ c3 → Augmentation majeure de la note avec : △S f n = S f n − S f n−1 = β0 + x f′ n β + βvv + ε (42) Dans cette formulation (42), △S f n indique la différence entre les scores de fin et de début du n eme ` épisode de notation de la firme f. Cette différence est exprimée en fonction d’un ensemble de variables explicatives observables x f′ n ,(indiquant la durée et l’ordre de l’épisode en cours, d’une part, et les périodes avant et après la crise, d’autre part), un facteur d’hétérogénéité non observable v et un terme d’erreur ε qui est distribué selon une loi normale de moyenne zéro et de variance σ 2 . Suite à cette écriture, trois seuils sont retenus afin de faire ressortir quatre scénarios qui déterminent le sens et l’ampleur de variation de la note (abaissement majeur de la note, abaissement mineur de la note, élévation mineure de la note, élévation majeure de la note). Notre optique, consiste donc à estimer le vecteur de paramètres : (c1, c2, c3, β, βv , σ) où ci représente les seuils à estimer en utilisant la méthode de maximum de vraisemblance tenant compte des paramètres β. Les probabilités associées aux quatre modalités sont définies σ  Pour des raisons d’identification, la variance du terme d’erreur ε est normalisée à un (i.e. σ = 1).

Un modèle LOG-ACD pour la durée des épisodes de notation

Pour modéliser les durées des épisodes de notation, nous faisons appel à un modèle LOG-ACD. Comme indiqué dans le chapitre précédent ce type de modèle présente l’avantage de tenir compte de la dépendance temporelle entre les durées de notation d’une même firme. Cette dépendance temporelle est exprimée par une structure autorégressive que nous retenons pour modéliser les espérances conditionnelles des durées. Ainsi, supposons que chaque réalisation d f n , peut se présenter comme le produit de deux composantes indépendantes : — Une première composante déterministe Ψ f n /If n−1 α ln ! E  Df n /If n−1 « qui est proportionnelle au logarithme de l’espérance conditionnelle de la durée de l’épisode n. — Une deuxième composante aléatoire dont les termes εn, sont identiquement et indépendamment distribués, I f n−1 étant toute l’information disponible sur la firme f à la date τ f n−1 .  Sur le plan formel, le processus de durée de notation est exprimé pour chaque firme f de la manière suivante : d f n = exp(Ψf n /If n−1 )εn (49) pour n = 2, . . . , Nf − 1 Ψ f n /If n−1 = α′z f n + αvv (50) avec E  D f n /If n−1  = µ exp(Ψf n /If n−1 ) (51) E  εn/If n−1  = µ var  εn/If n−1  = 1 Pour compléter l’écriture de la fonction de vraisemblance, nous supposons que, conditionnellement à I f n−1 , les termes εn sont distribués selon une loi de Weibull avec la fonction de densité suivante : fk(εn) = γµγ exp(−γµγ ε γ n ) (52) avec γ > 0 et une moyenne : µ = Γ(1 + 1 γ ). En procédant à un simple changement de variables, on peut voir que, conditionnellement à I f n−1 , la distribution de Df n est aussi donnée par une loi de Weibull de paramètres donnés par :     Γ(1 + 1 γ ) Ψ f n /If n−1   γk , γ   . Dans le cas d’une distribution de Weibull, la fonction de hasard conditionnelle est monotone. Elle est strictement croissante en fonction de la durée γk > 1, strictement décroissante pour γk < 1, et reste constante pour γk = 1. Dans ce dernier cas, la loi de Weibull est réduite à une loi exponentielle de paramètre (Ψf n /If n−1 ) −1 . 3.3. La fonction de vraisemblance. Comme nous pouvons le constater, nous avons exprimé fX(.) et fD(.) en fonction d’un terme aléatoire non observable v afin de tenir compte de l’hétérogénéité des observations dans leurs dimensions individuelles. En effet, il correspond à des facteurs d’hétérogénéité inter-temporelles non observables susceptibles d’influencer le processus de notation. 4. DONNÉES 97 Sur le plan statistique, nous supposons, à l’instar de Green (1990), que ν est distribué selon une loi de probabilité discrète qui est définie sur un ensemble de m points de masse, notée v1, v2; . . . , vm avec les poids respectifs p1, p2, . . . , pm( m k=1 pk = 1). Dans ces conditions, la fonction de vraisemblance pour l’ensemble des firmes de notre échantillon s’établit comme suit : L(θ) =  F f=1 N  f−1 n=1 m k=1 pk ! fX  x f n/df n , xf n , vk; θ  fD  d f n/zf n , vk, If n−1 ; θ  » (53) Le nombre de points de masses à retenir pour ν est déterminé par une méthode de balayage qui consiste à maximiser par rapport à θ la valeur de la fonction de vraisemblance, fonction que nous retenons pour estimer tous les paramètres du modèle. A l’issu de l’estimation des paramètres du modèle, les valeurs prises par le terme aléatoire ν vont être à l’origine de la création d’un ensemble de classes permettant une typologie des épisodes de notation. L’affectation aux différentes classes est réalisée moyennant les probabilités à postériori d’appartenir une classes donnée : j(j = 1, 2, . . . , m) : π f n (j) = Pr(classe j/df n , xf n , zf n , If n−1 ; θ) = pj ! fX  x f n /df n , z f 1n , vj ; θ  fD  d f n /zf 2n , vj , If n−1 ; θ  » m k=1 pk ! fX  x f n/df n, z f 1n , vk; θ  fD  d f n/zf 2n , vk, If n−1 ; θ  » (54) Cette expression montre que la probabilité conditionnelle à posteriori d’appartenance aux différentes classes dépend à la fois de tous les paramètres du modèle et de tous les variables caractérisant le processus joint des durées et directions de notion des firmes. Cette constatation nous donne le droit de considérer notre modèle comme étant un modèle à classes latentes, puisque le processus d’appartenance au groupe est régi par un processus aléatoire endogène non observable.